In generale, una variabile si dice aleatoria se esiste una distribuzione di probabilità.
Infatti le probabilità possono essere uniformi oppure no

$X\sim \mathrm{Deg}(a)$ con $a\in \mathbb{R}$ è detta variabile aleatoria degenere ed è quella tale per cui:
$\mathcal{P}(X=a)=1$

$\mathrm{\Omega }\subset \mathbb{Z}$ o numerabile
Sia $X$ la variabile aleatoria su $\mathrm{\Omega }$ con probabilità $\mathcal{P}(X=x)$, $x\in \mathrm{\Omega }$
Definisco la media di $X$ il valore
$E[X]=\sum _{x\in \mathrm{\Omega }}x\cdot \mathcal{P}(X=x)$
Ossia la media dei valori di $\mathrm{\Omega }$ presi con il loro peso. (E sta per Expectation)

$EX=\underset{\mathbb{R}}{\int }x\cdot f_X(x)dx$

La media, sia continua che discreta, è lineare:

$E[aX+b]=aEX+b$

Dimostrazione

Sia $g(x)$ una funzione lineare. In questo caso $aX+b$

Per la media di una variabile continua:

$\begin{array}{rl}E[aX+b]& =Eg(x)=\\ & ={\int }_{\mathbb{R}}(ax+b)f_X(x)dx=\\ & =a{\int }_{\mathbb{R}}x{f}_X(x)dx+b\stackrel{=1}{\overbrace{{\int }_{\mathbb{R}}{f}_X(x)dx}}=\\ & =aEX+b\end{array}$

Mentre la media di una variabile discreta:

$\begin{array}{rl}E(aX+b)& =\sum _k(a{x}_k+b)p_k=\\ & =a\sum _k{x}_k{p}_k+b\stackrel{=1}{\overbrace{\sum _k{p}_k}}=\\ & =aEX+b\end{array}$

Il momento di una VA è definito come:
$E{X}^r=\sum _k(x_k{)}^r{p}_{k}E{X}^r={\int }_{\mathbb{R}}{x}^r{f}_X(x)dx$
a seconda che $X$ sia una variabile aleatoria discreta o continua.

si definiranno:

• $r=1$: Primo momento (coincide con la [[#Media]])
• $r=2$: Secondo momento

La varianza è una misura quadratica di quanto $X$ si discosta dalla sua [[#Media e momenti]] (ossia dal suo valore centrale).
${\sigma }^2=\mathrm{Var}(X)=E(X-EX{)}^2$
Spesso si indica la varianza con ${\sigma }^2$.

La deviazione standard è ottenuta calcolando la radice quadrata della [[#Varianza]]

$\sigma =\sqrt{{\sigma }^2}$

1. $p_k\ge 0$
2. $\sum _{\mathbb{k}\in \mathbb{Z}}{p}_k=1$
   La funzione Discreta soddisfa le proprietà 1. e 2. se e solo se è una densità discreta di qualche variabile aleatoria $X$

Si dice che $X$ si distribuisce in accordo con una variabile binomiale e si scrive $X\sim \text{Bin}(n,p)$ se $X$ è di parametri $(n,p)$ con:

• $n\in \mathbb{N}$
• $p\in [0,1]$

Allora, detto $X=$ "Il numero di successi su $n$ prove indipendenti in cui il successo è un evento di probabilità $p$"
$\begin{array}{rlr}\mathcal{P}(X=x)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x})p^x(1-p{)}^{n-x},& & x\in \{0,1,...,n\}\in \mathbb{Z}\end{array}$

Ricavare la binomiale

Si supponga di avere una scatola contente una pallina con uno 0 e una pallina con un 1. Immagino di voler riempire n caselle con 0 o 1 a seconda della pallina che estraggo, ripetendo l'estrazione n volte con reimmissione
Siano

• $K$ l'evento: "Ottengo 1, k volte" (lo posso leggere anche come la somma di tutte le caselle)
• $x_i=$ "Valore della casella i-esima" $\in \{0,1\}$
  $K=\sum _{i=1}^n{x}_i\in \{0,1,2,3,...,n\}$
  La probabilità che una qualsiasi casella abbia valore 0, o abbia valore 1, è $\frac{1}{2}$
  $\mathcal{P}(x_i=0)=\mathcal{P}(x_i=1)=\frac{1}{2}\mathrm{\forall }i$
  La probabilità che $K=0$, uguale alla probabilità che K = n è:
  $\begin{array}{r}\mathcal{P}(K=0)=\mathcal{P}(\bigcap _{i=1}^n{x}_i=0)=\prod _{i=1}^n\mathcal{P}(x_i=0)={\left(\frac{1}{2}\right)}^n\\ \\ \mathcal{P}(K=n)=\mathcal{P}(\bigcap _{i=1}^n{x}_i=1)=\prod _{i=1}^n\mathcal{P}(x_i=1)={\left(\frac{1}{2}\right)}^n\end{array}$
  Proviamo a calcolare la probabilità che $K=2$:
  $\begin{array}{rl}\mathcal{P}(K=2)& =\mathcal{P}(\stackrel{=C_j}{\overbrace{\text{"2 volte 1", "n-2 volte 0"}}})=\\ & =\mathcal{P}\left(\bigcup _{j=1}^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})}{C}_j\right)=\\ & =\sum _{j=1}^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})}\mathcal{P}(C_j)\end{array}$
  $1\le j\le (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})$ perché ci sono $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})$ modi di disporre 2 palline in n caselle. Si tratta infatti di una combinazione semplice di $n$ elementi in classe di $2$: $C_{n,2}$.

$\mathcal{P}(C_j)={\left(\frac{1}{2}\right)}^2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-2}$

Generalizzando otteniamo che:
$\mathcal{P}(K=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\left(\frac{1}{2}\right)}^k{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-k}$
Qualora l'evento considerato non abbia probabilità $\frac{1}{2}$ ma $p$ si ha:
$\mathcal{P}(K=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\left(p\right)}^k{(1-p)}^{n-k}$

Sia $X\sim \mathrm{Bin}(n,p)$ con $n\in \mathbb{N},p\in [0,1]$
La [[#Media di variabili aleatorie Discrete]] per la [[#Variabile Aleatoria Binomiale]] è:
$EX=np$

Sia $X\sim \mathrm{Bin}(n,p)$ con $n\in \mathbb{N},p\in [0,1]$
La [[#Varianza]] per la [[#Variabile Aleatoria Binomiale]] è:
$\mathrm{Var}(X)=np(1-p)$

$X\sim \text{Ber}(p)\equiv \text{Bin}(1,p)$
con $x\in \{0,1\}$
$\begin{array}{r}\mathcal{P}(X=x)=p^x(1-p{)}^{1-x}=\{\begin{array}{ll}1-p& x=0\\ p,& x=1\end{array}\end{array}$

Sia $X\sim \mathrm{Ber}(p)$ con $p\in [0,1],x\in \{0,1\}$
La [[#Media di variabili aleatorie Discrete]] per la [[#Variabile Aleatoria di Bernoulli]] è:
$EX=p$

Sia $X\sim \mathrm{Ber}(p)$ con $p\in [0,1]$
La [[#Varianza]] per la [[#Variabile Aleatoria di Bernoulli]] è:
$\mathrm{Var}(X)=p(1-p)$

$X\sim \text{Geo}(p)$, $p\in [0,1]$
$\begin{array}{rlr}\mathcal{P}(X=x)=(1-p{)}^{x-1}p& & x\in \mathbb{N}=\{1,2,...,\mathrm{\infty }\}\setminus \{0\}\subset \mathbb{Z}\end{array}$
con $X=$ "Prova di primo successo"

Sia $S$ il successo con $\mathcal{P}(S)=p\in [0,1]$

$\begin{array}{rl}\mathcal{P}(X=x)& =\mathcal{P}(\text{Probabilità di avere successo alla prova x})\\ & =\mathcal{P}(\bar{S}\cap \bar{S}\cap ...\cap \bar{S}\cap S)=\\ & =\mathcal{P}(\bar{S})\cdot \cdot \cdot \mathcal{P}(\bar{S})\mathcal{P}(S)=(1-p{)}^{x-1}p\end{array}$

Sia $X\sim \mathrm{Geo}(p)$ con $p\in [0,1]$
La [[#Media di variabili aleatorie Discrete]] per la [[#Variabile Aleatoria Geometrica]] è:
$EX=\frac{1}{p}$

Dimostrazione:

Per definizione la [[#Media di variabili aleatorie Discrete]] è
$\begin{array}{rl}EX=\sum _{x=1}^{\mathrm{\infty }}x\mathcal{P}(X=x)& =\sum _{x=1}^{\mathrm{\infty }}x(1-p{)}^{x-1}p=\\ & =p\sum _{x=1}^{\mathrm{\infty }}x{q}^{x-1}=\\ & =p\sum _{x=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{d}{dq}{q}^x=\\ & =p\frac{d}{dq}\sum _{x=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^x=\\ & =p\frac{d}{dq}(\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^x-q^0)\end{array}$

Riconosco la serie geometrica $\sum _{x=0}{q}^x$ che converge a $\frac{1}{1-q}$.

$\begin{array}{rl}& =p\frac{d}{dq}(\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^x-q^0)=\\ & =p\frac{d}{dq}(\frac{1}{1-q}-q^0)=\\ & =p\frac{d}{dq}(\frac{1}{1-q}-1)=\\ & =p\frac{d}{dq}(\frac{1}{1-q}-1)=\\ & =-p(1-q{)}^{-2}=\\ & =\frac{p}{(1-q{)}^2}=\frac{p}{p^2}=\frac{1}{p}\end{array}$
c.v.d.

Una ditta produce lampadine con vita media: 70 accensioni
Una volta installata la lampadina "L" (presa a caso), calcolare $\mathcal{P}$("si accende").

Sia $S$ l'evento: "si accende"
Sia

$\bar{S}\cap \bar{S}\cap ...\cap \bar{S}\cap S\mathcal{P}(S)=q$
e
$S\cap S\cap ...\cap S\cap \bar{S}\mathcal{P}(\bar{S})=p$
$EX=\frac{1}{q}$
La media è uguale a 1 fratto la "probabilità che si accenda dopo un certo numero di volte in cui non si è accesa". Il problema richiede la probabilità dell'evento complementare.

$\begin{array}{rl}\mathcal{P}(S)& =1-\mathcal{P}(\bar{S})=\\ & =1-\frac{1}{EX}=\\ & =1-\frac{1}{70}=\frac{69}{70}\end{array}$

Sia $X\sim \mathrm{Geo}(p)$ con $p\in [0,1]$
La [[#Varianza]] per la [[#Variabile Aleatoria Geometrica]] è:
$\mathrm{Var}(X)=\frac{1-p}{p^2}$

$X\sim \text{Pois}(\lambda )$ con $\lambda >0$
$\begin{array}{rlr}\mathcal{P}(X=x)=e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^x}{x!}& & x\in {\mathbb{N}}_0=\mathbb{N}\cup \{0\}\end{array}$

Dato il tasso di successo $\lambda$, $X$ è il numero di successo nell'intervallo unitario.

Per $X\sim \mathrm{Pois}(\lambda )$
$EX=\lambda$

Dimostrazione:

$\begin{array}{rl}EX& =\sum _{x\ge 0}x\mathcal{P}(X=x)=\\ & =\sum _{x\ge 0}x{e}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^x}{x!}=\\ & =\sum _{x\ge 0}\mathrm{x̸}{e}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^x}{\mathrm{x̸}!}=\\ & =e^{-\lambda }\sum _{x\ge 1}\frac{{\lambda }^x}{(x-1)!}=\\ & =e^{-\lambda }\sum _{x-1\ge 0}\frac{{\lambda }^{x-1+1}}{(x-1)!}=\end{array}$

Chiamo $x-1=s$:

$\begin{array}{rl}& =e^{-\lambda }\sum _{x-1\ge 0}\frac{{\lambda }^{x-1+1}}{(x-1)!}=\\ & =e^{-\lambda }\sum _{s\ge 0}\frac{{\lambda }^{s+1}}{(s)!}=\\ & =\lambda e^{-\lambda }\sum _{s\ge 0}\frac{{\lambda }^s}{(s)!}=\end{array}$

In cui riconosco la serie di Taylor Mac-Laurin che converge a $e^{\lambda }$.

$\begin{array}{rl}& =e^{-\lambda }\sum _{s\ge 0}\frac{{\lambda }^s}{(s)!}=\\ & =\lambda e^{-\lambda }{e}^{\lambda }=\lambda \end{array}$
c.v.d.

Da precedenti osservazioni in una banca, si è visto che arrivano mediamente 6 clienti al minuto.

Calcolare
$\mathcal{P}(\text{"Arrivano 2 clienti tra 12:00 e 12:01"})$

Il tasso di arrivo è di $6$ clienti al minuto. $⟹\lambda =6=EX$, dove $EX=$ "il numero di arrivi al minuto".

Di fatto sto chiedendo $\mathcal{P}(X=2)$.

$\mathcal{P}(X=2)=e^{-6}\frac{6^2}{2!}$

Sia $X\sim \mathrm{Pois}(\lambda )$ con $\lambda >0$
La [[#Varianza]] per la [[#Variabile Aleatoria di Poisson]] è:
$\mathrm{Var}(X)=\lambda$

Sia $f$ una funzione continua. $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$

Definisco il: ![[#Supporto]]

1. $f_X\ge 0$
2. ${\int }_{\mathbb{R}}{f}_X(x)dx=1$
   La funzione continua soddisfa le proprietà 1. e 2. se e solo se è una densità continua di qualche variabile aleatoria $X$

$X\sim \mathrm{Unif}(a,b)$ con $a<b,(a,b)\in \mathbb{R}$

dove la [[#Densità continua]] è

$f_X(x)=\frac{1}{b-a}{1}_{(a,b)}(x)=\{\begin{array}{ll}0& x\notin (a,b)\\ \frac{1}{b-a}& x\in (a,b)\end{array}$

dove $1_E(x)$, con $E$ un qualche insieme, è detta funzione indicatrice e vale:

$1_E(x)=\{\begin{array}{ll}0& x\notin E\\ 1& x\in E\end{array}$
e
$\mathrm{Supp}(f_X)=(a,b)=\mathrm{Supp}(X)$

Sia $X\sim \mathrm{Unif}(a,b)$ con $a,b\in \mathbb{R}$
La [[#Media di variabili aleatorie Continue]] per la [[#Variabile aleatoria Uniforme]] è:
$\mathrm{E}(X)=\frac{a+b}{2}$

Sia $X\sim \mathrm{Unif}(a,b)$ con $a,b\in \mathbb{R}$
La [[#Varianza]] per la [[#Variabile aleatoria Uniforme]] è:
$\mathrm{Var}(X)=\frac{(b-a{)}^2}{12}$

$X\sim \mathrm{Exp}(\lambda ),\lambda >0$

La [[#Densità continua]] è

$f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x}{1}_{(0,\mathrm{\infty })}(x)=\{\begin{array}{ll}0& x<0\\ \lambda e^{-\lambda x}& x>0\end{array}$

e
$\mathrm{Supp}(X)=\mathrm{Supp}(f_X)=(0,\mathrm{\infty })$

Calcolare $\mathcal{P}(1<X<\frac{3}{2})$

$
\begin

\mathcal{P} (1<X<\frac{3}{2}) &= \int_{1}^{\frac{3}{2}} \lambda e^{-\lambda x}1_{(0, \infty)}(x) , dx = \

&= \left[ -e^{-\lambda x} \right]_{1}^{\frac{3}{2}} = -e^{- \frac{3}{2}\lambda} + e^{-\lambda}

\end{align}
$

Calcolare $\mathcal{P}(-5<X<5)$

$\begin{array}{rl}\mathcal{P}(1<X<\frac{3}{2})& =\mathcal{P}(X\in [-5,5])=\\ & =\mathcal{P}(X\in [-5,5],X\in (0,\mathrm{\infty }))=\\ & =\mathcal{P}(X\in [-5,5]\cap (0,\mathrm{\infty }))=\\ & =\mathcal{P}(X\in (0,5])=\\ & ={\int }_0^5\lambda e^{-\lambda x}dx=\\ & ={[-e^{-\lambda x}]}_0^5=1-e^{-5\lambda }\end{array}$

Sia $X\sim \mathrm{Exp}(\lambda )$ con $\lambda >0$
La [[#Media di variabili aleatorie Continue]] per la [[#Variabile Aleatoria Esponenziale]] è:
$\mathrm{E}(X)=\frac{1}{\lambda }$

Sia $X\sim \mathrm{Exp}(\lambda )$ con $\lambda >0$
La [[#Varianza]] per la [[#Variabile Aleatoria Esponenziale]] è:
$\mathrm{Var}(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}$

$X\sim \mathrm{Gamma}(\lambda ,\nu )$

La [[#Densità continua]] è
$f_X(x)=\frac{{\lambda }^{\nu }}{\mathrm{\Gamma }(\nu )}{x}^{\nu -1}{e}^{-\lambda x}{1}_{(0,\mathrm{\infty })}(x)$
e [[#Supporto]]:

$\mathrm{Supp}(f_X)=\mathrm{Supp}(X)=(0,\mathrm{\infty })$

e dove $\mathrm{\Gamma }(\lambda )$ è la [[#Funzione Gamma]] calcolata in $\lambda$

La funzione Gamma è la funzione:
$\mathrm{\Gamma }(z)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{s}^{z-1}{e}^{-s}ds,z>0$

La funzione gamma gode delle seguenti proprietà:

• $\mathrm{\Gamma }(z+1)$ = $z\mathrm{\Gamma }(z)$
• $\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$
• $\mathrm{\Gamma }(z+1)=z!$ se $z\in \mathbb{N}$
• $\mathrm{\Gamma }(2)=1$

Dimostrazione:

Cominciamo da $\mathrm{\Gamma }(z+1)=z\mathrm{\Gamma }(z)$

$\begin{array}{rl}z\mathrm{\Gamma }(z)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}z{s}^{z-1}{e}^{-s}ds& \stackrel{\text{Per parti}}{=}{\left[z\frac{1}{z}{s}^z{e}^{-s}\right]}_0^{\mathrm{\infty }}-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}z\frac{1}{z}(-e^{-s})s^{z}ds=\\ & =\underset{\to 0}{\underbrace{[{\mathrm{\infty }}^z{e}^{-\mathrm{\infty }}-0^z{e}^{-0}]}}+\underset{=\mathrm{\Gamma }(z+1)}{\underbrace{{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{s}^z{e}^{-s}ds}}=\mathrm{\Gamma }(z+1)\end{array}$
c.v.d

Da questo, segue immediatamente la terza affermazione (per $z\in \mathbb{N}$):
$\mathrm{\Gamma }(z+1)=z\mathrm{\Gamma }(z)=z(z-1)\mathrm{\Gamma }(z-1)...$
Continuando fino ad ottenere
$\mathrm{\Gamma }(z+1)=z!$
c.v.d

$EX=\frac{\nu }{\lambda }$

Dimostrazione

$\begin{array}{rl}EX& ={\int }_{\mathbb{R}}x{f}_X(x)dx=\\ & ={\int }_{\mathbb{R}}x\frac{{\lambda }^{\nu }}{\mathrm{\Gamma }(\nu )}{x}^{\nu -1}{e}^{-\lambda x}{1}_{(0,\mathrm{\infty })}(x)dx\\ & =\frac{{\lambda }^{\nu }}{\mathrm{\Gamma }(\nu )}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{\nu }{e}^{-\lambda x}dx=\left[\begin{array}{c}\lambda x=y\\ x={\lambda }^{-1}y\\ dx={\lambda }^{-1}dy\end{array}\right]\\ & =\frac{{\lambda }^{\nu }}{\mathrm{\Gamma }(\nu )}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\lambda }^{-\nu }{y}^{\nu }{e}^{-y}{\lambda }^{-1}dx=\\ & =\frac{{\lambda }^{-1}}{\mathrm{\Gamma }(\nu )}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{y}^{\nu }{e}^{-y}dx\end{array}$
Da $\mathrm{\Gamma }(\nu +1)=\nu \mathrm{\Gamma }(\nu )$ per [[#Proprietà della funzione gamma]] si ha che $\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\nu )}=\frac{\nu }{\mathrm{\Gamma }(\nu +1)}$. Allora
$\begin{array}{rl}& =\frac{{\lambda }^{-1}}{\mathrm{\Gamma }(\nu )}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{y}^{\nu }{e}^{-y}dx=\\ & ={\lambda }^{-1}\frac{\nu }{\mathrm{\Gamma }(\nu +1)}\underset{=\mathrm{\Gamma }(\nu +1)}{\underbrace{{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{y}^{\nu }{e}^{-y}dx}}=\frac{\nu }{\lambda }\end{array}$
c.v.d.

$Var(X)=\frac{\nu }{{\lambda }^2}$

$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ con $\mu \in \mathbb{R},{\sigma }^2>0$

La [[#Densità continua]] è
$f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$
con $x\in \mathbb{R}$.

Il [[#Supporto]]:

$\mathrm{Supp}(f_X)=\mathrm{Supp}(X)=\mathbb{R}$

Per $\mu =0$ e ${\sigma }^2=1$ si parla di Normale Standard: $X\sim N(0,1)$

$E(X)=\mu$

$\mathrm{Var}(X)={\sigma }^2$

Dimostrazione

$\begin{array}{rl}\mathrm{Var}(X)& =E(X-\mu {)}^2=\\ & ={\int }_{\mathbb{R}}(x-\mu {)}^2{f}_X(x)dx=\\ & ={\int }_{\mathbb{R}}(x-\mu {)}^2\frac{e^{\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}dx=\left[\begin{array}{c}x-\mu =y\\ x=y+\mu \\ dx=dy\end{array}\right]=\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{\int }_{\mathbb{R}}{y}^2{e}^{-\frac{y^2}{2{\sigma }^2}}dy=\left[\begin{array}{c}{y}^2=t\\ y=t^{\frac{1}{2}}\\ dy=\frac{1}{2}{t}^{\frac{1}{2}-1}dt\end{array}\right]=\\ & =\frac{\text{⧸}2}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{\int }_{\mathbb{R}}t{e}^{-\frac{t}{2{\sigma }^2}}\frac{1}{\text{⧸}2}{t}^{\frac{1}{2}-1}dt=\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{\int }_{\mathbb{R}}{t}^{\frac{1}{2}}{e}^{-\frac{t}{2{\sigma }^2}}dt=\left[\begin{array}{c}\frac{t}{2{\sigma }^2}=l\\ t=2{\sigma }^{2}l\\ dt=2{\sigma }^{2}dl\end{array}\right]=\\ & =\frac{1}{\sqrt{\text{⧸}2\pi {\mathrm{\sigma ̸}}^2}}{\int }_{\mathbb{R}}(\text{⧸}2{\mathrm{\sigma ̸}}^{2}l{)}^{\frac{1}{2}}{e}^{-l}2{\sigma }^{2}dl=\\ & =\frac{2{\sigma }^2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{l}^{\frac{1}{2}}{e}^{-l}dl=\\ & =\frac{2{\sigma }^2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{l}^{\frac{3}{2}-1}{e}^{-l}dl=\\ & =\frac{2{\sigma }^2}{\sqrt{\pi }}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{2{\sigma }^2}{\sqrt{\pi }}\frac{1}{2}\sqrt{\pi }={\sigma }^2\end{array}$
c.v.d.

Data $X\sim f_X$ si dice funzione di ripartizione di $X$ la funzione così definita:
$F_X(x)=\mathcal{P}(X\le x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{f}_X(y)dy$

$
\begin

1. &\quad \mathcal{P}(X \in (-\infty,x]) = \mathcal{P}(X \le x) = F_{X}(x) \
2. &\quad \mathcal{P}(X \in (x_{1}, x_{2}]) = \mathcal{P}(x_{1}<X\le x_{2}) = F_{X}(x_{2}) - F_{X}(x_{1}) \
3. &\quad \mathcal{P}(X \le x_{2}) = F_{X}(x_{1}) + \mathcal{P}(x_{1}<X<x_{2}) \
4. &\quad \lim_{x \to \infty} F_{X}(x) = 1 \qquad \qquad \lim_{x \to - \infty}F_{X}(x) = 0 \
5. &\quad \lim_{x \to x_{0}^{+}} F_{X}(x) = F_{X}(x_{0}) \qquad \text{(Continuità)}
   \end{align}
   $

Se $X$ è discreta, allora anche $g$ è una funzione discreta.

Sia $X\sim \mathrm{Exp}(\lambda )$ e $Y=\sqrt{X}$. Caratterizzare $Y$ (trovarne la densità).

Alcune considerazioni:

• $X$ è continua
• $\sqrt{}$ è continua
  Anche $Y$ è continua

Per l'esponenziale, $X\in (0,\mathrm{\infty })$ per cui $Y=g(X)\in (0,\mathrm{\infty })$

$\mathrm{Supp}(f_Y)=\mathrm{Supp}(Y)=(0,\mathrm{\infty })$
Come primo passo devo trovare $F_Y$ per poi derivare e cercare $f_Y$.

$\begin{array}{rl}{F}_Y(y)& =\mathcal{P}(Y\le y)=\\ & =\mathcal{P}(\sqrt{X}\le y)=\\ & =\mathcal{P}(X\le y^2)=\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{y^2}{f}_X(t)dt=\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{y^2}\lambda e^{-\lambda x}{1}_{(0,\mathrm{\infty })}(t)dt=\\ & ={\int }_0^{y^2}\lambda e^{-\lambda x}dt=\\ & =1-e^{-\lambda y^2}\end{array}$
Per $y\in (0,\mathrm{\infty })$

Per cui la [[#Densità continua]] è data da
$\begin{array}{rl}{f}_Y(y)& =\frac{d}{dy}{F}_Y(y)=\\ & =2\lambda y{e}^{-\lambda y^2}y>0\end{array}$
In $\mathbb{R}$:
$f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}0,& y\le 0\\ 2\lambda y{e}^{-\lambda y^2},& y>0\end{array}$
verificato che la funzione sia continua in 0. Ossia
$f_Y(y)=2\lambda y{e}^{-\lambda y^2}{1}_{(0,\mathrm{\infty })}(y)$