10. Processi Biologici

I processi biologici consistono nel replicare i processi biologici naturali all'interno dell'impianto di trattamento per depurare i reflui.
Li troviamo di solito a valle dei trattamenti primari.

I processi biologici possono essere:

Anaerobici
Anossici
Aerobici

Inoltre, possono essere:

A biomassa sospesa - ci sono microrganismi sospesi nel liquido nella forma di fiocchi
A biomassa adesa - i microrganismi si accumulano aderendo alla materia
- Supporto fisso
- Supporto Mobile

Il vantaggio dei PB è quella di favorire la trasformazione del substrato organico in materia cellulare. La materia cellulare può essere più facilmente separata dalla fase liquida attraverso processi di 6. Sedimentazione.
Cerco di favorire nel reattore le reazioni che ci fanno comodo. Dobbiamo promuovere lo sviluppo di certe tipologie di biomassa.
Cercheremo di fare in modo che la biomassa cresca su un supporto.

Parliamo di sostanze tipo Sostanze Organiche Biodegradabili (SOB).
Serve un reattore dove far crescere Biomassa che degradi la SOB in condizioni aerobiche.

Processo biologico in un reattore di Batch

La cinetica biologica viene tipicamente studiata seguendo la crescita dei microrganismi in coltura pura.
Si ipotizza che una certa quantità di microrganismi venca introdotta a un certo istante in un reattore batch.

Alla fine della fase di acclimatazione, la biomassa cresce in maniera esponenziale per mitosi. Nella fase di crescita esponenziale, il substrato non è limitante alla crescita --> la biomassa cresce alla velocità max (liberamente).

L'incremento della popolazione microbica seguirà una progressione geometrica.
Il numero di microrganismi all'istante $t$ , $N (t)$ , sarà dato da

N (t) = N_{0} 2^{t / t_{G}}

dove:

$N_{0} =$ Numero di microrganismi all'istante 0
$t_{g} =$ Tempo di generazione: il tempo impiegato per la mitosi

Passando ai logaritmi posso scrivere:

\ln \frac{N (t)}{N_{0}} = \frac{\ln 2}{t_{G}} \cdot t

dove definisco il #Tasso massimo di crescita della biomassa:

μ_{M A X} = \frac{\ln 2}{t_{G}}

Quando la quantità di substrato è limitante per la crescita della biomassa si ha la fase di respirazione endogena. In tali condizioni, il tasso di crescita è espresso dall'#Equazione di Monod.
Si definiscono ora alcune grandezze utili a caratterizzare le velocità di crescita di substrato e biomassa:

#Grandezze del substrato
#Grandezze della Biomassa

Grandezze del substrato

Si avranno:

#Velocità di utilizzazione del Substrato
#Tasso di utilizzazione del Substrato
Si definisce inoltre una relazione che metta in relazione il #Tasso di crescita lorda della Biomassa con la concentrazione di substrato: l'#Equazione di Monod:

Equazione di Monod

equazione di monod

L'equazione di Monod mette in relazione il #Tasso di crescita lorda della Biomassa con la concentrazione di substrato
$μ = \frac{μ_{M A X} S}{k_{s} + S}$

osservazione

L'Cinetica di saturazione.

Velocità di utilizzazione del Substrato

velocità di utilizzazione del substrato ($r_{su}$)

$r_{s u} = - \frac{d S}{d t}$

In quanto il substrato diminuisce, per avere velocità positiva si inserisce un segno $-$ .

Tasso di utilizzazione del Substrato

Il tasso di utilizzazione, è una velocità specifica, normalizzata in termini di biomassa:

tasso di utilizzazione del substrato ($u$)

$U = \frac{r_{s u}}{X} = - \frac{1}{X} \frac{d S}{d t}$

Grandezze della Biomassa

#Velocità di crescita lorda della Biomassa
#Velocità di respirazione endogena della Biomassa
#Velocità di crescita lorda della Biomassa

In generale non si fa riferimento alle velocità ma al loro valore specifico (tasso) rispetto alla concentrazione della biomassa $X$ .

#Tasso di crescita lorda della Biomassa
#Tasso di respirazione endogena della Biomassa
#Tasso di crescita netta della Biomassa

Velocità di crescita lorda della Biomassa

velocità di crescita lorda della biomassa ($r_{g}$)

$r_{g} = \frac{d X}{d t}$

g = gross

Tasso di crescita lorda della Biomassa

tasso di crescita lorda della biomassa ($\mu$)

$μ = \frac{r_{g}}{X}$

Velocità di respirazione endogena della Biomassa

velocità di respirazione endogena ($r_g$)

$r_{d} = - \frac{d X}{d t}$

dove "d" sta per decadimento

Tasso di respirazione endogena della Biomassa

tasso di respirazione endogena ($k_{d}$)

$k_{d} = \frac{r_{d}}{X}$

Velocità di crescita netta della Biomassa

velocità di crescita netta ($r'_{g}$)

$r_{g}^{'} = r_{g} - r_{d}$

Tasso di crescita netta della Biomassa

tasso di crescita netta ($\mu'$)

$μ^{'} = μ - k_{d}$

Tasso di rendimento di crescita

Non tutto il substrato che viene consumato diventa biomassa, infatti:

Della quantità complessiva di substrato consumato nelle reazioni biologiche,

una parte viene trasformata in prodotti finali dando luogo alla produzione di energia
la parte restante è usata per la costruzione di nuovo materiale cellulare
Si definisce pertanto un Tasso di rendimento di crescita:

tasso di rendimento di crescita ($y$)

Il Tasso di rendimento di crescita è il rapporto tra quanta biomassa nasce rispetto a quanto substrato viene consumato:
$Y = \frac{r_{g}}{r_{s u}} = \frac{μ}{U} < 1$
che di solito assume valori $Y \approx 0.5 \div 0.6$ .

Il vantaggio che si ottiene coi processi biologici è di convertire il substrato (disciolto) in biomassa, la quale è più facile da rimuovere.

Reattore a fanghi attivati

reattore a fanghi attivati

Un reattore a fanghi attivati è un reattore all'interno del quale la rimozione della sostanza organica viene realizzata sfruttando opportune reazioni biochimiche di degradazione.

Attivati: perché siamo noi a introdurre i microrganismi

Nel nostro sistema si avrà pertanto crescita di biomassa la quale crescerà proprio nutrendosi del substrato. La biomassa poi è più facile da rimuovere per sedimentazione rispetto al substrato.

Un sistema a fanghi attivati sarà pertanto costituito da:

Un reattore biologico (CFSTR) in cui la biomassa cresce consumando substrato
Un sedimentatore secondario in cui la biomassa viene fatta sedimentare in un fango di scarto
Il liquido depurato in uscita dal sistema

Un sistema a fanghi attivati può poi avere o meno ricircolo del fango in uscita dal sedimentatore secondario. Di seguito sono analizzati entrambi i casi:

#Sistema a fanghi attivati - senza ricircolo
#Sistema a fanghi attivati - con ricircolo e spurgo dalla linea di ricircolo

Sistema a fanghi attivati - senza ricircolo

In ingresso si avranno concentrazioni di Substrato ed eventuale Biomassa ( $S_{0}, X_{0}$ ).
In uscita dal CFSTR, così come al suo interno, si avranno invece concentrazioni minori di Substrato, $S ≪ S_{0}$ (in quanto questo sarà stato consumato dalla biomassa) e concentrazioni maggiori di biomassa, $X ≫ X_{0}$ (in quanto questa si sarà accresciuta nutrendosi del substrato).

Nel sedimentatore secondario, la biomassa viene fatta sedimentare ed espulsa (portata $Q_{w}$ - waste). Si avrà pertanto una concentrazione di biomassa molto maggiore rispetto a quella in ingresso al sedimentatore, $X_{R} ≫ X$ . In uscita dal sedimentatore, nell'effluente, si avrà ancora una certa concentrazione di biomassa, $X_{e}$ . Questa è idealmente il più piccola possibile e comunque molto minore di quella del fango, $X_{e} ≪ X_{R}$ .

Per quanto riguarda il substrato invece, si suppone che nel sedimentatore la sua concentrazione non vari. Essendo poi questo disciolto in acqua, avrà la stessa concentrazione nel fango e nell'effluente, sempre pari a $S$ .

Riassumendo:

\begin{array}{r} X_{0} ≪ X \\ X_{R} ≫ X \\ X_{e} ≪ X \end{array}

Si mostrano sotto le unità di misura con cui vengono misurate le concentrazioni di substrato e biomassa:

\begin{aligned} S & = [\frac{m g B O D_{5}}{l}], [\frac{m g C O D}{l}] \\ X & = [\frac{m g S S V}{l}] \end{aligned}

Equazioni di progetto - senza ricircolo

Per trovare le equazioni di progetto per i #Sistema a fanghi attivati - senza ricircolo occorre prima di tutto fare i bilanci di materia per substrato e Biomassa. In entrambi i casi si eseguirà il bilancio supponendo le condizioni stazionarie.

equazioni di progetto - senza ricircolo

$\begin{aligned} S & = \frac{k_{s} (1 + k_{d} θ_{H})}{(μ_{M A X} - k_{d}) θ_{H} - 1} & f (parametri cinetici, θ_{H}) \\ X & = \frac{Y (S_{0} - S)}{1 + k_{d} θ_{H}} & f (parametri cinetici, S_{0}, θ_{H}) \end{aligned}$

Bilanci per Substrato e Biomassa

Bilancio del Substrato - senza ricircolo

Ricordando come si esegue il bilancio di materia per un reattore, avremo:

Q S_{0} - Q S - r_{s u} V = V \frac{d S}{d t}

dove:

$r_{s u} =$ #Velocità di utilizzazione del Substrato
Accumulo supposto uguale a zero per via delle condizioni stazionarie

Isolando per $r_{S U}$ si avrà quindi che si può scrivere la #Velocità di utilizzazione del Substrato come

r_{s u} = \frac{Q (S_{0} - S)}{V} = \frac{S_{0} - S}{θ_{H}}

dove il rapporto $\frac{V}{Q}$ è stato sostituito ricordando la definizione di tempo di residenza idraulica $θ_{H}$ .

Ricordando infine la definizione di #Tasso di utilizzazione del Substrato, possiamo riscrivere anche questo come:

U = \frac{r_{s u}}{X} = \frac{S_{0} - S}{θ_{H} X}

Bilancio della Biomassa - senza ricircolo

Ricordando come si esegue il bilancio di materia per un reattore, avremo:

Q X_{0} - Q X + r_{g}^{'} V = V \frac{d X}{d t}

dove:

$Q X_{0} =$ Portata in massa in ingresso
$Q X =$ Portata in massa in uscita
$r_{g}^{'} =$ #Velocità di crescita netta della Biomassa
Accumulo supposto uguale a zero per via delle condizioni stazionarie

Si ricorda inoltre quanto detto nell'introduzione ai #Sistema a fanghi attivati - senza ricircolo:

X_{0} ≪ X

Per cui il bilancio fornisce, trascurando il contributo dato dalla biomassa in ingresso, la seguente equazione per la #Velocità di crescita netta della Biomassa:

r_{g}^{'} = \frac{Q}{V} X = \frac{X}{θ_{H}}

dove il rapporto $\frac{V}{Q}$ è stato sostituito ricordando la definizione di tempo di residenza idraulica $θ_{H}$ .

Ricordando infine la definizione di #Tasso di crescita netta della Biomassa, possiamo riscrivere anche questo come:

μ^{'} = \frac{1}{θ_{H}}

Equazione di progetto per il substrato - senza ricircolo

Si è quindi trovato, rispettivamente nei #Bilancio del Substrato - senza ricircolo e #Bilancio della Biomassa - senza ricircolo che:

U = \frac{S_{0} - S}{θ_{H} X} μ^{'} = \frac{1}{θ_{H}}

Ricordando inoltre l'#Equazione di Monod: $μ = \frac{μ_{M A X} S}{k_{s} + S}$
possiamo scrivere:

\begin{aligned} μ^{'} = \frac{1}{θ_{H}} & = μ - k_{d} \\ = \frac{μ_{M A X} S}{k_{s} + S} - k_{d} \end{aligned}

Risolvendo a questo punto per $S$ troviamo che:

equazione di progetto per il substrato - senza ricircolo

$S = \frac{k_{s} (1 + k_{d} θ_{H})}{(μ_{M A X} - k_{d}) θ_{H} - 1} f (parametri cinetici, θ_{H})$

Equazione di progetto per la biomassa - senza ricircolo

Ricordando il #Tasso di rendimento di crescita, nonché quanto trovato nel #Bilancio del Substrato - senza ricircolo e nel #Bilancio della Biomassa - senza ricircolo, rispettivamnte

μ^{'} = \frac{1}{θ_{H}} U = \frac{S_{0} - S}{θ_{H} X}

scriveremo:

\begin{aligned} μ^{'} = \frac{1}{θ_{H}} & = μ - k_{d} = \\ = Y U - k_{d} = \\ = Y \frac{S_{0} - S}{θ_{H} X} - k_{d} \end{aligned}

a questo punto, risolvendo per $X$ , si trova:

equazione di progetto per la biomassa - senza ricircolo

$X = \frac{Y (S_{0} - S)}{1 + k_{d} θ_{H}} f (parametri cinetici, S_{0}, θ_{H})$

Sistema a fanghi attivati - con ricircolo e spurgo dalla linea di ricircolo

Definisco il #Tempo di residenza cellulare

Tempo di residenza cellulare

Il tempo di residenza cellulare (o anche età del fango) indica quanto tempo la Biomassa risiede nel sistema.

θ_{c} = \frac{massa di microrganismi nel reattore}{\begin{aligned} massa di microrganismi spurgati dal sys \\ nell’unità di tempo \end{aligned}} = \frac{X V}{Q_{w} X_{R} + (Q - Q_{w}) X_{e}}

con

[θ_{c}] = [\frac{m a s s a}{\frac{m a s s a}{t e m p o}}] = t e m p o

osservazione

$θ_{c}$ è un valore medio: è una media statistica
$θ_{c}$ ha significato solo in condizioni di stato stazionario
Rappresenta quanto tempo ci mettiamo a rinnovare tutta la biomassa nel reattore.

[?] Perché $θ_{c}$ rappresenta quanto tempo ci mettiamo a rinnovare tutta la biomassa nel reattore?

Equazioni di progetto - con ricircolo

Si trovano le equazioni di progetto nel caso di #Sistema a fanghi attivati - con ricircolo:

equazioni di progetto - con ricircolo

$\begin{aligned} S & = \frac{k_{s} (1 + k_{d} θ_{c})}{(μ_{M A X} - k_{d}) θ_{c} - 1} & S & = f (parametri cinetici, θ_{c}) \\ X & = \frac{θ_{c}}{θ_{H}} \frac{Y (S_{0} - S)}{1 + k_{d} θ_{c}} & X & = f (parametri cinetici, S_{0}, θ_{H}, θ_{c}) \end{aligned}$

Bilanci per substrato e biomassa - con ricircolo

Bilancio del Substrato - con ricircolo

Ricordando come si esegue il bilancio di materia per un reattore, avremo:

Q S_{0} - [(Q - Q_{w}) S + Q_{w} S] - r_{s u} V = V \frac{d S}{d t}

dove:

$Q S_{0} =$ Portata in massa in ingresso
$[(Q - Q_{w}) S + Q_{w} S] =$ Portata in massa in uscita
$r_{s u} =$ #Velocità di utilizzazione del Substrato
Accumulo supposto uguale a zero per via delle condizioni stazionarie

Facendo le dovute semplificazioni e risolvendo per la #Velocità di utilizzazione del Substrato si ottiene:

r_{s u} = \frac{S_{0} - S}{θ_{H}}

Si noti che l'espressione è uguale a quella ottenuta per il sistema senza ricircolo.

Bilancio della Biomassa - con ricircolo

Ricordando come si esegue il bilancio di materia per un reattore, avremo:

Q X_{0} - [(Q - Q_{w}) X_{e} + Q_{w} X_{R}] - r_{g}^{'} V = V \frac{d X}{d t}

dove:

$Q X_{0} =$ Portata in massa in ingresso
$[(Q - Q_{w}) X_{e} + Q_{w} X_{R}] =$ Portata in massa in uscita
$r_{g}^{'} =$ #Velocità di crescita netta della Biomassa
Accumulo supposto uguale a zero per via delle condizioni stazionarie

Inoltre, si trascura la componente in ingresso $Q X_{0}$
Risolvendo per la #Velocità di crescita netta della Biomassa:

r_{g}^{'} = \frac{(Q - Q_{w}) X_{e} + Q_{w} X_{R}}{V}

passando al #Tasso di crescita netta della Biomassa si ottiene:

μ^{'} = \frac{(Q - Q_{w}) X_{e} + Q_{w} X_{R}}{V X} = \frac{1}{θ_{c}}

dove si è usata la definizione di #Tempo di residenza cellulare.

Equazione di progetto per il Substrato - con ricircolo

Si omettono i passaggi che sono del tutto analoghi a quelli fatti per ricavare l'#Equazione di progetto per il substrato - senza ricircolo.
Si ottiene così

equqazione di progetto per il substrato - con ricircolo

$S = \frac{k_{s} (1 + k_{d} θ_{c})}{(μ_{M A X} - k_{d}) θ_{c} - 1} S = f (parametri cinetici, θ_{c})$

Equazione di progetto per la Biomassa - con ricircolo

Si omettono i passaggi che sono del tutto analoghi a quelli fatti per ricavare l'#Equazione di progetto per la biomassa - senza ricircolo.
Si ottiene così

equazione di progetto per la biomassa - con ricircolo

$X = \frac{θ_{c}}{θ_{H}} \frac{Y (S_{0} - S)}{1 + k_{d} θ_{c}} X = f (parametri cinetici, S_{0}, θ_{H}, θ_{c})$

I parametri cinetici li diamo per costanti.

Analisi delle equazioni di progetto - con ricircolo

Si rappresentano gli andamenti delle Equazioni di progetto, sia per il Substrato $S$ che per la Biomassa $X$ in funzione del #Tempo di residenza cellulare $θ_{c}$ .

attenzione!

È sbagliato dire prima o dopo in senso temporale.
I grafici raffigurano per ogni valore di $θ_{c}$ i valori di $S$ e $X$ corrispondenti. Ogni punto della curva corrisponde a uno stato del sistema diverso.

Curva del substrato

CURVA del SUBSTRATO:
Si noti che la curva del Substrato è tagliata al valore $S_{0}$ . In corrispondenza del taglio, trovo il valore corrispondente di $θ_{c}$ che chiamerò $θ_{c}^{m i n}$ . Per valori di $θ_{c} < θ_{c}^{m i n}$ non c'è rimozione, quindi la concentrazione di substrato rimane costante.

A valore bassi di $θ_{c}$ infatti, secondo la definizione di #Tempo di residenza cellulare, corrispondono bassi valori di ricircolo della biomassa, e quindi elevati valori di spurgo. Ci sarà pertanto poca biomassa che non basterà a consumare il substrato nel reattore.

Curva della Biomassa

CURVA della BIOMASSA:
Per quanto riguarda la biomassa non è possibile costruire un'unica curva, in quanto l'andamento dipenderà, oltre che da $θ_{c}$ , anche da $S_{0}$ e da $θ_{H}$ . In particolare, sopra sono raffigurati gli andamenti di $X$ per valori crescenti di $S_{0}$ fissato $θ_{H} = θ_{H}^{*}$ .

Si noti prima di tutto che, per valori di $θ_{c} < θ_{c}^{m i n}$ , si ha $X = 0$ .

[?] Perché per valori bassi di $θ_{c}$ si ha concentrazione nulla di biomassa?

Inoltre, fissato un certo valore di $θ_{c}$ , $X$ cresce al decrescere di $θ_{H}$ :

X ↗ ⟺ ↘ θ_{H}

Infatti, dall'#Equazione di progetto per la biomassa - con ricircolo, si ha che

X = \frac{θ_{c}}{θ_{H}} \frac{Y (S_{0} - S)}{1 + k_{d} θ_{c}}

È evidente che, fissato $θ_{c}$ , al che tutte le altre quantità saranno costanti, all'aumentare di $θ_{H}$ , $X$ dovrà diminuire e viceversa.
Questo si verifica perché, essendo $θ_{H} = \frac{V}{Q}$ , a $θ_{H}$ bassi corrispondono volumi bassi. A parità di biomassa (Ho bisogno di un certo numero di "particelle di biomassa" fissato per rimuovere la stessa quantità di substrato) si avrà quindi una concentrazione maggiore (stessa massa in un volume minore) e quindi $X$ maggiore.

Perché $X$ diminuisce all'aumentare del $θ_{H}$ ? Ho capito dall'equazione di progetto, ma a livello fisico cosa succede? ✅ 2024-01-29
Servono tot microrgasnismi in massa. XV/Q. Posso realizzare quella quantità con un volume grande e una X piccola o viceversa.

Se $S_{0}$ cambia, cambia la $X$ . Se cambia $S_{0}$ , a parità di $θ_{c}$ , la quanità di substrato da rimuovere è sempre quella.

Valore limite del Substrato

VALORE LIMITE del SUBSTRATO:
Si osservi inoltre che $S$ non tende a $0$ per elevati valori di $θ_{c}$ , infatti:

\begin{aligned} S_{l i m} = lim_{θ_{c} \to \infty} S & = lim_{θ_{c} \to \infty} \frac{k_{s} (1 + k_{d} θ_{c})}{(μ_{M A X} - k_{d}) θ_{c} - 1} \overset{de l’hopîtal}{=} \frac{k_{s} k_{d}}{μ_{M A X} - k_{d}} \end{aligned}

$S$ non va a 0 perché serve un minimo di substrato per avere una certa quantità di biomassa.

[?] Perché S non va a 0 per $θ_{c}$ che va a infinito in termini intuitivi?
[?] " $S$ non va a 0 perché serve un minimo di substrato per avere una certa quantità di biomassa". Cosa vuol dire questa frase?
il $θ_{c}^{m i n}$ e $S_{l i m}$ contengono i parametri cinetici: $μ_{m a x}$ e $k_{d}$ (e $k_{s}$ ). Stiamo considerando che dentro c'è della biomassa che reagisce per consumare il substrato.

Abbiamo detto che $θ_{c}^{m i n}$ è il valore di $θ_{c}$ al di sotto del quale $S = S_{0}$ :

Non c'è rimozione di substrato
Non c'è biomassa nel sistema

Si osservi cosa avevamo trovato nel #Equazione di progetto per la biomassa - con ricircolo:

μ^{'} = \frac{1}{θ_{c}}

Si vede che, più la biomassa risiede all'interno del #Sistema a fanghi attivati - con ricircolo, più cresce lentamente, essendo $μ^{'}$ il #Tasso di crescita netta della Biomassa.
Inoltre ricordando l'#Equazione di Monod:

μ^{'} = \frac{1}{θ_{c}} = \underset{μ}{\underset{⏟}{\frac{μ_{M A X} S}{k_{s} + S}}} - k_{d}

Ci mettiamo ora nella condizione in cui $θ_{c} = θ_{c}^{m i n}$ :

\frac{1}{θ_{c}^{m i n}} = \frac{μ_{M A X} S_{0}}{k_{s} + S_{0}} - k_{d}

Inoltre, supponendo che sia $k_{s} ≪ S_{0}$ :

\frac{1}{θ_{c}^{m i n}} = \frac{μ_{M A X} S_{0}}{S_{0}} - k_{d} \approx μ_{M A X} - k_{d}

Punto di washout

PERCHÉ ESISTE $θ_{H}^{m i n}$ ?

Dobbiamo garantire che la Biomassa rimanga nel reattore almeno $θ_{c}^{m i n}$ affinché possa degradare il Substrato.

Ricordo la definizione di #Tempo di residenza cellulare:

θ_{H} = \frac{X V}{Q_{w} X_{R} + (Q - Q_{w}) X_{e}} \overset{X_{e} \sim 0 ≪ X_{R}}{=} \frac{V X}{Q_{w} X_{R}}

Per capire il perché sotto $θ_{c}^{m i n}$ non ci sia consumo di substrato, cerchiamo di capire bene cosa succede per vari valori di $θ_{c}$ .

Prendo $θ_{c}^{*}$
Prendo un certo valore di $θ_{c} = θ_{c}^{*}$ . A questo valore di tempo di residenza cellulare, corrispondono varie concentrazioni di substrato, $S^{*}$ , Biomassa, $X^{*}$ e #Tasso di crescita lorda della Biomassa (dall'#Equazione di Monod), $μ^{*}$ .

SI può anche calcolare il #Tasso di crescita netta della Biomassa, $μ^{' *}$ a questo valore di $θ_{c}$

μ^{' *} = μ^{*} - k_{d}

Inoltre, si è trovato che c'è proporzionalità inversa tra il tempo di residenza cellulare e il tasso di crescita netta della biomassa:

μ^{' *} = \frac{1}{θ_{c}^{*}}

Siamo noi a indurre una certa quantità di biomassa, lavorando a un determinato valore di $θ_{c}^{*}$ . A $θ_{c}^{*}$ è associato una qualche concentrazione di Substrato ( $S^{*}$ ). Gli organismi si trovano quindi in contatto con una concentrazione di substrato più o meno elevata. È quindi in funzione del substrato che i microrganismi si accrescono più o meno velocemente (#Tasso di crescita lorda della Biomassa).

Prendo ${\hat{θ}}_{c}$
Si considera ora un valore di $θ_{c} < θ_{c}^{*}$ , aumentando la portata di spurgo.

{\hat{θ}}_{c} < θ_{c}^{*}

Ora, i microrganismi hanno meno tempo per degradare il substrato.
E quindi sarà necessaria meno biomassa per degradare meno substrato.
Quindi, per

\hat{X} < X^{*}, \hat{S} > S^{*} ⟹ \hat{μ} > μ^{*}

Ossia, per valori di concentrazione di biomassa minore, e concentrazione di substrato maggiore, si avrà un tasso di crescita di microrganismi maggiore.

Infine, se prendo come $θ_{c}$ proprio $θ_{c}^{m i n}$ , varrà la relazione $S = S_{0}$ e il tasso di crescita sarà arrivato al valore massimo reale: $μ (S_{0})$ diverso da $μ_{M A X}$ .

Prendendo $θ_{c} < θ_{c}^{m i n}$ , vale sempre $S = S_{0}$ e velocità di crescita sempre $μ (S_{0})$ .
A questo punto, a valori di $θ_{c}$ così bassi, significa che avrò valori ancora minori di spurgo. Non ottengo però quantità maggiori di [[#Tasso di crescita lorda della Biomassa]].

Ad esempio, è come se, quando nel reattore nascono 20 microrganismi, cerco di spurgarne 25. In una prima fase di transitorio questo sarebbe anche possibile, ma è chiaro che in condizioni stazionarie la cosa non potrebbe funzionare. Arriverei a voler rimuovere un numero di organismi maggiore di quelli che effettivamente ho

Per valori di $θ_{c} < θ_{c}^{m i n}$ si induce un depauperamento di microrganismi nel reattore. Si ha così dilavamento della biomassa nel reattore. La condizione stazionaria si raggiunge solo quando non c'è più biomassa. Infatti, sotto $θ_{c}^{m i n}$ non c'è più biomassa.
Per quanto appena detto, il punto di $θ_{c}^{m i n}$ viene detto punto di washout.

Obbligatorietà dello spurgo

Se non ci fosse spurgo sarebbe meglio. Infatti nella realtà lo spurgo è un flusso contenente circa la metà del substrato rimasto.

È impossibile però non avere spurgo.

Infatti, al fine di mantenere la condizione stazionaria, se ci fosse crescita di biomassa, dovrei comunque aumentare lo spurgo.

La quantità di Biomassa ( $Q_{w} X$ ) sta al denominatore nell'equazione del #Tempo di residenza cellulare $θ_{c}$ . Quindi, più aumenta la quantità spurgata, più diminuisce lo il tempo di residenza e viceversa.

Al crescere di tanta biomassa, bisogna spurgare tanto, provocando un abbassamento del tempo di residenza cellulare.

Produzione di Biomassa

È legata al $μ^{'}$ .

produzione di biomassa ($p_{x}$)

La Produzione di biomassa è la crescita della Biomassa nell'unità di tempo. Rappresenta la nuova biomassa che viene prodotta dal sistema. Tenendo sempre a mente di voler mantenere le condizioni di stato stazionario, corrisponderà anche alla biomassa che viene espulsa nello spurgo nell'unità di tempo ([[#Obbligatorietà dello spurgo]]).

Ammesso di trovarci in condizioni stazionarie:
$P_{X} = (Q - Q_{w}) X_{e} + Q_{w} X_{R}$

Ne risulta, direttamente dalla definizione, che il #Tempo di residenza cellulare è:

θ_{c} = \frac{V X}{P_{X}}

E quindi, ricordando l'#Equazione di progetto per la biomassa - con ricircolo:

\begin{array}{r} P_{X} = \frac{V X}{θ_{c}} = \frac{V}{θ_{c}} \frac{θ_{c}}{θ_{H}} \frac{Y (S_{0} - S)}{1 + k_{d} θ_{c}} \end{array}

Ricordando che $θ_{H} = \frac{V}{Q}$ :

\underset{\begin{aligned} portata in massa \\ di substrato consumato \end{aligned}}{\underset{⏟}{Q (S_{0} - S)}} \frac{Y}{1 + k_{d} θ_{c}}

mentre la quantità $\frac{Y}{1 + k_{d} θ_{c}}$ si definisce come #Rendimento effettivo di crescita della biomassa.

Rendimento effettivo di crescita della biomassa

rendimento effettivo di crescita della biomassa

$Y^{'} = Y_{o s s} = \frac{Y}{1 + k_{d} θ_{c}}$
Il rendimento effettivo di crescita della biomassa è il rendimento di crescita della biomassa che, a differenza del [[#Tasso di rendimento di crescita]], tiene conto del consumo della biomassa per via della respirazione endogena.

Per questa ragione si può definire anche
$Y^{'} = \frac{μ^{'}}{U}$

Si ricorda che era $Y = \frac{μ}{U}$ .

Inoltre, ricordo essere $μ^{'} = \frac{1}{θ_{c}} = μ - k_{d}$

Vediamo che rapporto c'è tra $Y$ e $Y^{'}$ .

\frac{Y^{'}}{Y} = \frac{μ^{'}}{μ} = \frac{μ^{'}}{μ^{'} + k_{d}} = \frac{\frac{1}{θ_{c}}}{\frac{1 + k_{d} θ_{c}}{θ_{c}}} = \frac{1}{1 + k_{d} θ_{c}}

Possiamo quindi affermare che:

$Y^{'} = \frac{Y}{1 + k_{d} θ_{c}}$

E quindi, ricordando che avevamo scritto la #Produzione di Biomassa come $P_{X} = Q (S_{0} - S) \frac{Y}{1 + k_{d} θ_{c}}$ si avrà:

P_{X} = Q (S_{0} - S) Y^{'}

Per elevati valori di $θ_{c}$ , il substrato raggiunge valori di concentrazione relativamente bassi, di conseguenza si avrà un contributo maggiore di respirazione endogena. In ogni caso, per valori crescenti di $θ_{c}$ , la #Produzione di Biomassa tende a decrescere:

θ_{c} ↗ ⟺ ↘ P_{X}

In quanto ricircolo sempre la stessa biomassa e quindi non ne genero di nuova.

Si osservi che $P_{X}$ è il prodotto di due grandezze, entrambe dipendenti da $θ_{c}$ .

Per $θ_{c}$ bassi prevale l'aumento di $S_{0} - S$ . Per $θ_{c}$ elevati invece, prevale $Y^{'}$ .

Lavorare a $θ_{c}$ elevati significa pertanto:

Rimuovere molto substrato
Avere tanto tempo a disposizione con poco substrato
- Questo significa presenza di respirazione endogena
  Gli impianti che lavorano in queste condizioni si chiamano Impianti ad aerazione prolungata. Questo tipo di impianti si usa solo per impianti di piccole dimensioni.

Sistemi a fanghi attivati - con ricircolo e spurgo dal reattore

I sistemi visti fino ad ora (#Sistema a fanghi attivati - con ricircolo e spurgo dalla linea di ricircolo) prevedevano lo spurgo dei fanghi dalla linea di ricircolo.
Posso però pensare di spurgare direttamente dal reattore, una portata $Q_{w}^{'}$ .

Si ricorda la definizione di #Tempo di residenza cellulare:

θ_{c} = \frac{V X}{(Q - Q_{w}^{'}) X_{e} + Q_{w}^{'} X}

dove possiamo riscrivere il denominatore come #Produzione di Biomassa, $P_{X}$ .

Voglio confrontare il sistema con spurgo dal reattore con quello con spurgo dalla linea di ricircolo. Per farlo dovremo imporre che i due sistemi abbiano un #Tempo di residenza cellulare uguale. Avremo così due sistemi equivalenti.

[?] Perché i due sistemi così sono equivalenti? Ossia: perché i due sistemi sono equivalenti se hanno lo stesso #Tempo di residenza cellulare?
- Il funzionamento del sistema, in termini di sub, biomassa, ecc. dipende da $θ_{c}$ . Per paragonare i due sistemi, non posso che farlo a parità di $θ_{c}$

Trascuro $X_{e}$ .
Essendo $V X$ equivalenti nei due reattori a prescindere, per avere i due sistemi equivalenti, e quindi i due tempi di residenza cellulare, si dovranno imporre equivalenti le due #Produzione di Biomassa.

P_{X} = P_{X}^{'}

dovrà pertanto essere:

\begin{aligned} Q_{w} X_{R} & = Q_{w}^{'} X \\ \frac{Q_{w}^{'}}{Q_{w}} & = \frac{X_{R}}{X} \end{aligned}

Si vede quindi che si dovrà mantenere uguali i rapporti tra le portate di spurgo e le concentrazioni di biomassa nello spurgo.

Avendo trascurato $X_{e}$ , $θ_{c}$ diventa:

θ_{c} = \frac{V X}{Q_{w}^{'} X} = \frac{V}{Q_{w}^{'}}

Confronto tra sistemi con spurgo da ricircolo e da reattore

Si confrontano ora i #Sistemi a fanghi attivati - con ricircolo e spurgo dalla linea di ricircolo e #Sistemi a fanghi attivati - con ricircolo e spurgo dal reattore.

Si hanno:

$θ_{c} = \frac{V X}{Q_{w} X_{R}}$ se spurgo dalla linea di ricircolo
$θ_{c} = \frac{V}{Q_{w}^{'}}$ se spurgo dal reattore
Si noti che, nel caso di spurgo dalla linea di ricircolo, per regolare lo spurgo, devo conoscere sia $X$ che $X_{R}$ . Nel secondo caso invece, basta conoscere $X$ e quindi posso limitarmi a controllare la portata.

Dal punto di vista economico, conviene il #Sistema a fanghi attivati - con ricircolo e spurgo dalla linea di ricircolo perché usa portate in uscita minori.

\begin{aligned} Q_{w} X_{R} & = Q_{w}^{'} X \\ X_{R} & > X \\ Q_{w} & < Q_{w}^{'} \end{aligned}

Rapporto tra $X_{R}$ e $X$

Cerchiamo ora di capire che rapporto intercorra tra $X_{R}$ e $X$ .
Per farlo eseguiremo il bilancio di materia guardando esclusivamente al sedimentatore secondario.

Come sempre, trascurerò il contributo dovuto alla concentrazione di biomassa nell'effluente, $X_{e}$ .

(Q + Q_{R}) X = (Q - Q_{w}) X_{e} + (Q_{R} + Q_{w}) X_{R}

Di solito inoltre, si ha che:

\begin{aligned} Q_{R} & \approx Q \\ Q_{w} & \approx 2 \div 3 % Q \end{aligned}

Posso quindi anche trascurare $Q_{w}$ .

Avrò pertanto, dopo le dovute semplificazioni:

(Q + Q_{R}) X = Q_{R} X_{R}

Ottengo così che

X_{R} = \frac{Q + Q_{R}}{Q_{R}} X

Abbiamo detto $Q_{R} \approx Q$ e quindi

X_{R} \approx 2 X

❗❗❗❗❗❗❗❗❗❗❗❗❗
❗❗❗ COMPLETARE ❗❗❗ dimensionamento con equazioni di progetto
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Richiesta di Ossigeno

Al fine di mantenere le condizioni aerobiche all'interno dei #Reattore a fanghi attivati occorre fornire ossigeno al sistema.

Diffusori a balle
Turbina
Getti d'aria
In questo capitolo ci riproponiamo di calcolare la richiesta di ossigeno del sistema. Misureremo tutto in termini di richiesta biochimica di ossigeno (BOD), o meglio, di $B O D_{u}$ . Quest'ultimo tiene conto anche della respirazione endogena. Se faccio un bilancio di massa complessivo, teoricamente sto tenendo conto di tutti i termini in gioco.
Ricordando le ipotesi di
condizioni stazionarie
Spurgo dal sedimentatore
eseguo il bilancio di massa:

\underset{I n g r e s s o}{\underset{⏟}{Q S_{0} + Q X_{0}}} - \underset{U s c i t a}{\underset{⏟}{[(Q - Q_{w}) S + Q_{w} S + (Q - Q_{w}) X_{e} + Q_{w} X_{R}]}} = R_{O_{2}}

dove

$R_{O_{2}}$ è la richiesta di ossigeno
Si noti che bisogna convertire le concentrazioni di substrato e biomassa in termini di $B O D_{u}$ :
Per il Substrato:

S : [\frac{m g B O D_{5}}{l}] \times \underset{\overset{△}{=} f}{\underset{⏟}{[\frac{m g B O D_{u}}{m g B O D_{5}}]}} = [\frac{m g B O D_{u}}{l}]

Per la Biomassa:

X : [\frac{m g S S V}{l}] \times \underset{\overset{△}{=} f^{'}}{\underset{⏟}{[\frac{m g B O D_{u}}{m g S S V}]}} = [\frac{m g B O D_{u}}{l}]

Riscrivo il bilancio di materia inserendo i coefficienti di conversione appena definiti:

Q S_{0} f + Q X_{0} f^{'} - [(Q - Q_{w}) S f + Q_{w} S f + (Q - Q_{w}) X_{e} f^{'} + Q_{w} X_{R} f^{'}] = R_{O_{2}}

Si ottiene così:

f Q (S_{0} - S) - f^{'} \underset{P_{X}}{\underset{⏟}{[(Q - Q_{w}) X_{e} + Q_{w} X_{R}]}} = R_{O_{2}}

osservazione

L'ossigeno in ingresso è associato al substrato entrante.

R_{O_{2}} = f Q (S_{0} - S) - f^{'} P_{X}

dove $f^{'} P_{X}$ è la biomassa che non va più in respirazione endogena (nel reattore) perché viene espulsa. È pertanto sottratta dalla richiesta di ossigeno perché non ne consuma.

Calcolo dei fattori di conversione

Calcoliamo il valore di $f$ :
Ricordo che la Richiesta biochimica di ossigeno (BOD) è dato dall'equazione:

B O D (t) = B O D_{u} (1 - e^{- k t})

Quindi il $B O D_{5}$ :

B O D_{5} = B O D_{u} (1 - e^{- 5 k})

risulta

f = \frac{B O D_{u}}{B O D_{5}} = \frac{1}{1 - e^{- 5 k}} \approx \frac{1}{0.68}

In definitiva:

$f = \frac{1}{0.68}$

Per il calcolo di $f^{'}$ invece, è necessario osservare i rapporti stechiometrici nella reazione di consumo della biomassa. Si può trovare infatti che gli elementi più diffusi nella biomassa sono Carbonio, Idrogeno, Ossigeno e Azoto nei seguenti rapporti stechiometrici: $C_{5} : H_{7} : O_{2} : N$ .

C_{5} : H_{7} : O_{2} : N + 5 O_{2} ⟶ 5 C O_{2} + 2 H_{2} O + N H_{3} + e n e r g i a + . . .

Pertanto sarà:

f^{'} = \frac{5 m o l O_{2}}{1 m o l S S V} = \frac{5 \times 32 g O_{2}}{113 g S S V} = 1.42

Ossia:

$f^{'} = 1.42$

In definitiva, la richiesta di ossigeno sarà:

R_{O_{2}} = \frac{Q (S_{0} - S)}{0.68} - 1.42 P_{X}

[?] Che differenza c'è tra fiocco-formatori e filo-mentosi?

Con riferimento alla

Equazione di Monod

equazione di monod

L'equazione di Monod mette in relazione il [[#Tasso di crescita lorda della Biomassa]] con la concentrazione di substrato
$μ = \frac{μ_{M A X} S}{k_{s} + S}$

10. Processi Biologici 2024-01-23 16.16.46.excalidraw.png

osservazione

L'Cinetica di saturazione.

Nel sistema non è che c'è un solo tipo di microrganismi. Ci sono milioni di tipologie diverse.
A seconda delle condizioni di funzionamento si può avere la selezione di un tipo di biomassa piuyyosto che una ltra.

in condizioni di S elevate, i microrganismi di tipo 1 sono quelli che crescono con velocità maggiore (vd. grafico scarabbocchio). Seleziona microrganismi di tipo 1. S elevati e theta_c bassi

Al contrario, in condizioni di S bassi (theta_c alti) sto in condizioni di scarso substrato. Seleziona biomassa di tipo 2.

Una curva di biomassa di tipo 2, è tipico di organismi filamentosi: curva ripida vicino l'origine, ma velocità massima minore. Si sviluppano come fossero fibre, filamenti. Hanno difficoltà a sedimentare. --> si sviluppano bulking se proliferano troppo.

Sedimentatore Secondario

Studiamo ora nel dettaglio il sedimentatore secondario.

Il sedimentatore secondario è una vasca che ha lo scopo di separare il refluo dalla Biomassa, con l'obiettivo di ottenere un refluo chiarificato.

Tipicamente il sedimentatore secondario è costituito da una vasca cilindrica con alla base un tronco di cono all'interno della quale sedimenta e si accumula la biomassa in un fango che viene poi messo in ricircolo o spurgato.

Per semplicità, si considererà questa parte di accumulo tutta concentrata in un unico punto.
Passerò quindi dalla situazione schematizzata a sinistra a quella schematizzata a destra:

Lo studio del sedimentatore avverrà facendo riferimento alla #Teoria del Flusso Solido

Teoria del Flusso Solido

Flusso di Solidi

flusso di solidi

Il flusso di solidi è la quantità di particelle (massa) che attraversano una certa sezione (superficie) nell'unità di tempo.

$F S = [\frac{m a s s a}{S u p e r f i c i e \times t e m p o}] = [\frac{k g S S T}{m^{2} d}] \times [\frac{m}{m}]$
Il Flusso di Solidi è esprimibile anche come una concentrazione per una velocità:
$F S = C_{S S T} \times v$

Nella #Teoria del Flusso Solido applicata ai sedimentatori, il flusso di solidi è dovuto a 2 diversi contributi:

$F S_{g} =$ Il contributo della gravità
$F S_{u} =$ Il #Flusso Solido di Underflow
Il Flusso solido totale è pertanto dovuto alla somma dei due contributi appena menzionati:

\begin{aligned} F S_{T O T} & = F S_{g} + F S_{u} \\ = X v_{s z} + X u \end{aligned}

Il cui andamento è mostrato sotto:

La prima parte della curva di $F S_{T O T}$ può essere ignorata, in quanto difficilmente si hanno nella realtà concentrazioni di biomassa così basse.

All'interno del sedimentatore, la concentrazione è costante sezione per sezione. Inoltre, la concentrazione aumenta man mano che ci si trova a profondità maggiori della vasca. Si può pertanto guardare alla concentrazione $X$ come alla profondità all'interno del sedimentatore.

La curva $F S_{T O T}$ rappersenta la quantità di solidi che POSSONO attraversare una determinata sezione nell'unità di tempo. Non rappresenta quelli che effettivamente passano nel sedimentatore.

Si può dire quindi che la $F S_{T O T}$ è una misura della capacità di ogni sezione di far passare solidi.

FLUSSO SOLIDO LIMITE
Notiamo che la curva di $F S_{T O T}$ presenta un minimo relativo in corrispondenza di una certa concentrazione critica $X_{c}$ , che indicheremo con $F S_{l i m}$ .

FLUSSO SOLIDO APPLICATO
Se, come abbiamo detto, $F S_{T O T}$ misura la capacità delle sezioni di far passare solidi, dovremo assicurarci che, il $F S_{a p p}$ , ossia il flusso solido che introduciamo all'interno della vasca di sedimentazione, non superi mai $F S_{T O T}$ .
Si guardi al grafico e al $F S_{a p p}$ in questo caso. Fin quando $F S_{a p p} < F S_{T O T}$ , va tutto bene. Le particelle sedimentano senza problemi. Quando si arriva alle sezioni per cui $F S_{a p p} > F S_{T O T}$ però, le particelle non riusciranno più ad attraversare il sedimentatore ed inizieranno ad accumularsi. Questo provoca che la biomassa possa andare ad inquinare l'effluente chiarificato.

Si noti che per il valore di $F S_{l i m}$ si ha l'accumulo massimo. Pertanto vorremo che

F S_{a p p} \leq F S_{T O T} \forall X

che è verificato se è verificata la condizione

F S_{a p p} \leq F S_{l i m}

Inoltre, al fine di sfruttare al massimo la capacità del sedimentatore, cercheremo di applicare un flusso il più grande possibile. Il che si traduce nella condizione:

F S_{a p p} = F S_{l i m}

FONDO DEL SEDIMENTATORE
Sul fondo del sedimentatore si avranno le seguenti condizioni:

$F S_{T O T} = F S_{l i m}$
$F S_{g} \approx 0 ⟹ F S_{T O T} \approx F S_{u} = F S_{l i m}$ in corrispondenza del quale si ha una concentrazione $X_{R}$

spiegazione dell'andamento del $fs_{tot}$

Viene da chiedersi per quale motivo il $F S_{T O T}$ abbia proprio questo andamento all'interno del sedimentatore.

Per prima cosa, potremmo di ignorare $F S_{u}$ a basse concentrazioni e ignorare $F S_{g}$ a concentrazioni elevate.

A bassi valori di $X$ , $F S_{T O T}$ cresce in quanto cresce il flusso solido dovuto alla gravità. Più si scende nel sedimentatore, meno $F S_{g}$ troveremo, in quanto a elevati valori di $X$ (e quindi a grandi profondità) troveremo velocità di sedimentazione a zone molto basse e di conseguenza un flusso molto basso. Questo è vero fino al raggiungimento di una condizione limite: $F S_{l i m}$ in corrispondenza della concentrazione critica $X_{c}$ .

Oltre tale concentrazione, diventa molto più rilevante il contributo di #Flusso Solido di Underflow. Questo è dovuto all'aspirazione del fango dal fondo del sedimentatore. Quindi se è vero che si ha poco #Flusso Solido per gravità per via delle elevate concentrazioni, si avrà comunque un flusso totale che torna a crescere.

Coniugata della retta di underflow

Abbiamo detto che il flusso massimo che posso applicare senza incorrere in fenomeni di accumulo nel #Sedimentatore Secondario è $F S_{a p p} = F S_{l i m}$ .

Abbiamo anche visto che in corrispondenza di $F S_{l i m}$ c'è un minimo relativo della funzione $F S_{T O T} (X)$ . In corrispondenza di questo punto sarà quindi vera la relazione

\frac{d F S_{T O T}}{d X} = 0

Spezzando $F S_{T O T}$ nei suoi due contributi (#Flusso Solido per gravità e #Flusso Solido di Underflow):

\frac{d F S_{g}}{d X} + \frac{d F S_{u}}{d X} = 0

dove, essendo il [[#Flusso Solido di Underflow]] $F S_{u} = X u$ , la sua derivata sarà semplicemente $u$ :

\frac{d F S_{g}}{d X} + u = 0

e quindi:

\frac{d F S_{g}}{d X} = - u

Abbiamo quindi dimostrato la seguente cosa:

teorema

In corrispondenza di $X_{c}$ e quindi quando il $F S_{T O T}$ è pari a $F S_{l i m}$ , la curva di #Flusso Solido per gravità ha pendenza pari a $- u$ .

Inoltre si può dimostrare che la coniugata alla retta di underflow (la retta a pendenza $- u$ appena individuata) passa per i punti $(X_{R}; 0)$ e $(0, F S_{l i m})$ .

Flusso Solido per gravità

flusso solido per gravità ($fs_{g}$)

Il flusso solido solido per gravità è il contributo del #Flusso di Solidi dovuto alla sedimentazione che avviene naturalmente all'interno del #Sedimentatore Secondario.

È esprimibile come prodotto tra la concentrazione di biomassa alla sezione $J$ e la velocità di Sedimentazione $v_{s z}$ a zone:
$F S_{g} = X v_{s z}$

L'andamento del flusso solido per gravità è spiegato da quanto detto in merito alla velocità di sedimentazione $v_{s z}$ in funzione della concentrazione quando abbiamo trattato la sedimentazione a zone.

Si noti come, per valori bassi di concentrazione, la $v_{s z}$ sia pressapoco costante. Questo comporta un aumento di $F S_{g}$ all'aumentare della concentrazione ( $C_{0} = X$ in questo caso).

Per elevati valori di concentrazione invece, la velocità di sedimentazione subisce una forte diminuzione, dovuta al maggiore ostacolarsi a vicenda delle particelle. Anche il $F S_{g}$ tenderà pertanto a decrescere per questi valori di concentrazioni elevate.

Flusso Solido di Underflow

flusso solido di underflow

Il Flusso Solido di Underflow è il flusso dovuto all'aspirazione causata dalla rimozione del fango alla base del sedimentatore.
È dato da:
$F S_{u} = X u$
dove $u$ è la [[#Velocità di underflow]]

Velocità di Underflow

La velocità con cui viene estratto il fango è costante ed uguale a

u = \frac{Q_{R} + Q_{w}}{A}

Dimensionamento e gestione del sedimentatore secondario

Dimensionamento del sedimentatore

Analizziamo il #Sedimentatore Secondario.

Le grandezze note del sistema sono:

$Q$
$X$ - conosciuta o assegnata
$α$ (rapporto di ricircolo)
$X_{R}$ e $Q_{R}$ da $X$ e rapporto di ricircolo
$v_{s z} (X)$ - La posso assumere
$F S_{g}$ - l'unica cosa nota a priori

Rimangono incognite per il dimensionamento:

$A =$ Sezione del sedimentatore. Senza la sezione non possiamo conoscere le quantità legate al flusso
$u, F S_{u}, F S_{T O T}, F S_{l i m}$

Nota $F S_{g}$ posso ricavare la #Coniugata della retta di underflow.
Questa infatti abbiamo detto ha le seguenti caratteristiche:

Tangenza con $F S_{g}$
Passaggio per $X_{R}$
Esisterà una sola retta con queste caratteristiche. Trovato $u$ posso anche tracciare $F S_{u}$ .
La #Velocità di Underflow è per definizione $u = \frac{Q_{R}}{A}$ (avendo considerato nullo il contributo di $Q_{w}$ ).

Graficamente, si può calcolare $F S_{l i m}$ come

\begin{aligned} F S_{a p p} = F S_{l i m} & = u X_{R} \\ = \frac{Q_{R}}{A} \cdot \frac{Q_{R} + Q}{Q_{R}} X \end{aligned}

dove si è scritto $X_{R} = \frac{Q_{R} + Q}{Q_{R}} X$
relazione che si ottiene facendo il bilancio di materia per la Biomassa:

\begin{aligned} (Q + Q_{R}) X & = (Q_{w} + Q_{R}) X_{R} \\ X_{R} & = \frac{Q + Q_{R}}{Q_{R}} X \end{aligned}

In definitiva si avrà che

F S_{a p p} = \frac{Q_{R} + Q}{A} X

e quindi, la sezione necessaria a garantire il corretto funzionamento del sedimentatore:

A = \frac{F_{a p p}}{(Q_{R} + Q) X}

Gestione del sedimentatore

Punto di Stato

La gestione del sistemi a fanghi attivati con ricircolo e spurgo dalla linea di ricircolo: capire cioè quali siano le condizioni stazionarie di funzionamento del sistema, nonché identificare l'evoluzione nel passaggio da una condizione operativa di stato stazionario a un'altra.

Per questo sistema è possibile definire, oltre alla già menzionata #Velocità di Underflow, una #Velocità di Overflow, $u_{0}$ , pari al rapporto tra la portata volumetrica in ingresso ( $Q$ ) e l'area della sezione orizzontale della vasca di sedimentazione:

u_{0} = \frac{Q}{A}

Tale velocità, identifica sul piano $F S - X$ la retta di overflow.

[?] Cosa rappresenta in pratica la retta di overflow? Ha a che fare con la velocità di overflow della 6. Sedimentazione?
Retta di overflow: analoga alla retta di unnderflow ma con $u_{0}$ invece che $u$ come pendenza. La traccio per analogia a quella di underflow. Volendola interpretare fisicamente, è $u_{0} = \frac{Q}{A} \sim \frac{Q - Q_{w}}{A}$ dove $Q - Q_{w}$ è il flusso ascensionale dovuto al trascinamento dell'effluente.
Differenza tra velocità di overflow nella sedimentazione di tipo 1 e questa:

Il sistema in esame risulta identificato da un punto $P_{S}$ detto punto di stato. Questo deriva direttamente dal #Bilancio della Biomassa - con ricircolo:

(Q + Q_{R}) X = (Q - Q_{w}) X_{e} + (Q_{R} + Q_{w}) X_{R}

trascurando il contributo della concentrazione dell'effluente e assumendo $Q_{w} ≪ Q_{R}$ :

(Q + Q_{R}) X = Q_{R} X_{R}

Dividendo membro a membro per l'area della sezione orizzontale del sedimentatore

\frac{Q}{A} X + \frac{Q_{R}}{A} X = \frac{Q_{R}}{A} X_{R}

che diventa, ricordando le definizioni di #Velocità di Underflow e #Velocità di Overflow

u_{0} X + u X = u X_{R}

Dall'espressione appena ricavata si intuisce come, assegnato un certo valore della concentrazione di biomassa $X$ nel reattore, la quantità $F S_{l i m} = F S_{a p p} = u X_{R}$ sia pari numericamente alla somma dei due segmenti $\overset{―}{A P_{S}}$ e $\overset{―}{P_{S} B}$ :

\begin{aligned} F S_{a p p} & = \overset{―}{A P_{S}} + \overset{―}{P_{S} B} \\ u X_{R} & = u_{0} X + u X \end{aligned}

Secondo le relazioni appena descritte risulta quindi chiaro che il punto di stato $P_{S}$ debba trovarsi sull'intersezione tra la retta di overflow ( $u_{0}$ ) e la coniugata alla retta di underflow ( $- u$ ).

Allo scopo di soddisfare il criterio di chiarificazione del surnatante, risulta evidente che il punto di stato debba trovarsi al di sotto della curva di $F S_{g}$ .

[?] Perché, per garantire la chiarificazione (CRITERIO DI CHIARIFICAZIONE), bisogna avere punto di stato al di sotto della curva $F S_{g}$ ? Perché questa condizione garantisce che la velocità di risalita del surnatante sia sempre inferiore a quella di sedimentazione del fango? Perché quest'ultima cosa garantisce la chiarificazione?
- La risultante delle due velocità verticali è diretta verso il basso

Nella condizione descritta, il $F S_{a p p}$ può essere pertanto scritto come:

F S_{a p p} = (u_{0} + u) X = \frac{Q + Q_{R}}{A} X

Compreso che $P_{S}$ rappresenta un punto di equilibrio per il sistema, ci proponiamo di studiare cosa succeda quando proviamo a modificare alcune variabili, spingendo il $P_{S}$ a spostarsi. In particolare vedremo:

#Variazione della portata in ingresso
#Variazione della concentrazione di biomassa

Le variazioni avverranno sotto le seguenti ipotesi:

ipotesi

Variazione istantanea
Le altre grandezze non variano

Variazione della portata in ingresso

Immaginiamo un'aumento della #Velocità di Overflow, dovuta ad esempio a un'aumento della portata influente $Q$ . Questo porterà a una fase transitoria fino al raggiungimento di un nuovo punto di equilibrio.
Si passerà così da $u_{0}$ a $u_{0}^{'} > u_{0}$ .

Rimarranno invece invariate le condizioni relative alla retta du Underflow e il valore della concentrazione di biomassa $X$ nel reattore (in accordo con la seconda ipotesi)

La modifica della portata influente avrà pertanto come conseguenza una traslazione della coniugata alla retta di underflow fino al punto $P_{1}$ .

Il #Flusso di Solidi applicato sarà pertanto variato da $F S_{a p p}$ a $F S_{a p p}^{'}$

F S_{a p p}^{'} = \frac{Q^{'} + Q_{R}}{A} X

dove, essendo $Q^{'} > Q$ e rimanendo invariate le altre grandezze,

F S_{a p p}^{'} > F S_{a p p}

Si ricorda che $F S_{a p p}$ si era scelto proprio uguale a $F S_{l i m}$ . Poiché quest'ultimo non varia, ci troviamo ora in una condizione di SOVRACCARICO.

Questa cosa risulta evidenziata anche dal fatto che la retta di Underflow interseca la curva di [[#Flusso Solido per gravità]] $F S_{g}$ in 3 punti anziché 2.

Al fine di tornare in una condizione di equilibrio, la retta di underflow inizierà a traslare verso il basso, tornando a passare per il punto $P_{S}$ , ovvero tornando alla stessa condizione di tangenza precedente.

A questo punto viene individuato un nuovo punto di stato, $P_{S}^{'}$ , che sarà ancora definito come l'intersezione tra la nuova retta di Overflow e l'originale retta di Underflow.

In definitiva si avrà una diminuzione della concentrazione della biomassa del sistema ( $X \to X^{'}$ ).

Variazione della concentrazione di biomassa

Immaginiamo ora un aumento istantaneo di concentrazione di biomassa da $X$ a $X^{'}$ :

X \to X^{'} X^{'} > X

Rimangono invariate la pendenza della retta di Underflow ( $u = c o s t$ ) e la #Velocità di Overflow $u_{0}$ .

Come conseguenza si avrà una traslazione verso l'alto della retta di Underflow.

Notiamo che, come nel caso di #Variazione della portata in ingresso, in questa condizione la retta di underflow interseca la curva di [[#Flusso Solido per gravità]] $F S_{g}$ in 3 punti individuando una $F S_{a p p}^{'} > F S_{a p p}$ . Si ha quindi una condizione di SOVRACCARICO.

In particolare, il nuovo [[#Flusso di Solidi]] applicato sarà:

F S_{a p p}^{'} = \frac{Q + Q_{R}}{A} X^{'} > F S_{a p p}

Il raggiungimento delle condizioni di stato stazionario si avrà esclusivamente quando la retta di underflow tornerà a traslare verso il basso per riportare il nuovo punto $P_{1}$ a un nuovo punto di stato, $P_{S}^{'}$ che si nota essere coincidente con $P_{S}$ .

[?] Perché nonostante il punto di stato sia tornato al punto di stato precedente, le condizioni nel sistema sono variate?

Dal punto di vista del sedimentatore è la stessa condizione: stessa $u_{0}, u$ e stessa $X$ . Potrebbe non essere la stessa dal punto di vista biologico.

La $X$ viene dal reattore. Un motivo per cui potrebbe aumentare è che succeda qualcosa nel reattore. La $X$ la decide il sistema quanto vale. Potrebbe aumentare $X$ perché aumenta il substrato $S_{0}$ . La curva di riferimento nel piano $X - t h e t a_{c}$ è un'altra, a un nuovo valore di $S_{0}$ . La stessa $X$ , se cambia $S_{0}$ , corrisponde a 2 diversi valori di $θ_{c}$ .

Non è detto che questo $θ_{c}$ vada bene dal punto di vista del processo biologico.
Questo è un problema dal punto di vista dell'eliminazione del substrato, non della sedimentazione della biomassa.

10. Processi Biologici

Processo biologico in un reattore di Batch

Grandezze del substrato

Equazione di Monod

Velocità di utilizzazione del Substrato

Tasso di utilizzazione del Substrato

Grandezze della Biomassa

Velocità di crescita lorda della Biomassa

Tasso di crescita lorda della Biomassa

Velocità di respirazione endogena della Biomassa

Tasso di respirazione endogena della Biomassa

Velocità di crescita netta della Biomassa

Tasso di crescita netta della Biomassa

Tasso di rendimento di crescita

Reattore a fanghi attivati

Sistema a fanghi attivati - senza ricircolo

Equazioni di progetto - senza ricircolo

Bilanci per Substrato e Biomassa

Bilancio del Substrato - senza ricircolo

Bilancio della Biomassa - senza ricircolo

Equazione di progetto per il substrato - senza ricircolo

Equazione di progetto per la biomassa - senza ricircolo

Sistema a fanghi attivati - con ricircolo e spurgo dalla linea di ricircolo

Tempo di residenza cellulare

Equazioni di progetto - con ricircolo

Bilanci per substrato e biomassa - con ricircolo

Bilancio del Substrato - con ricircolo

Bilancio della Biomassa - con ricircolo

Equazione di progetto per il Substrato - con ricircolo

Equazione di progetto per la Biomassa - con ricircolo

Analisi delle equazioni di progetto - con ricircolo

Curva del substrato

Curva della Biomassa

Valore limite del Substrato

Punto di washout

Obbligatorietà dello spurgo

Produzione di Biomassa

Rendimento effettivo di crescita della biomassa

Sistemi a fanghi attivati - con ricircolo e spurgo dal reattore

Confronto tra sistemi con spurgo da ricircolo e da reattore

Rapporto tra XR e X

Richiesta di Ossigeno

Calcolo dei fattori di conversione

Equazione di Monod

Sedimentatore Secondario

Teoria del Flusso Solido

Flusso di Solidi

Coniugata della retta di underflow

Flusso Solido per gravità

Flusso Solido di Underflow

Velocità di Underflow

Dimensionamento e gestione del sedimentatore secondario

Dimensionamento del sedimentatore

Gestione del sedimentatore

Punto di Stato

Variazione della portata in ingresso

Variazione della concentrazione di biomassa

Rapporto tra $X_{R}$ e $X$