Il moto di un oscillatore armonico (come può essere un pendolo) senza attrito, è descritto dall'equazione:

$\ddot{\theta }(t)-\frac{g}{L}\sin (\theta (t))=0$

Se vogliamo risolvere questo problema in modo analitico, siamo costretti ad usare l'approssimazione delle piccole oscillazioni per cui:

$\theta (t)\sim 0⟹\sin (\theta (t))\sim \theta (t)$

da cui l'equazione diventa:

$\ddot{\theta }(t)-\frac{g}{L}\theta (t)=0$

di cui appunto sappiamo trovare la soluzione.

Per risolvere però il problema reale, siamo costretti a non usare le piccole oscillazioni. In questo caso l'equazione risulta non lineare e non ne conosciamo la soluzione esplicita. Dobbiamo quindi avvalerci di un metodo numerico.

In ogni caso, per la soluzione sono necessarie le condizioni iniziali che permettano di scrivere il #Problema di Cauchy:

$\{\begin{array}{l}\ddot{\theta }(t)-\frac{g}{L}\sin (\theta (t))=0\\ \theta (t_0)={\theta }_0,\dot{\theta }(t_0)=v_0\end{array}$

È un modello utile a descrivere l'andamento delle popolazioni di due specie di cui una è predatrice dell'altra. È stato sviluppato da Larka e Volterra.

Si definiscono 2 specie: $P$ e $N$. La variazione (derivate) delle popolazioni è descritta dal seguente sistema:

$
\begin

\dot P(t) &= k_{1} P(t) - \frac{1}{\mu_{2}} P(t)N(t) \

\dot N(t) &= -k_{2} N(t) + \frac{1}{\mu_{1}} P(t)N(t) \

P(t_{0}) &= P_{0}, ,,,,,,,,,,, N(t_{0}) = N_

\end{cases}
$

Le prede ($P$) aumentano esponenzialemente in assenza di predatori ($N$).

Viceversa, i predatori diminuiscono esponenzialmente in assenza di prede.

La relazione è esponenziale: infatti risolvendo $\dot{P}=k_{1}P$ si otterrebbe proprio $P=e^{k_{1}t}$.

Le prede poi diminuiscono in presenza dei predatori e questi ultimi aumentano in presenza di prede.

Questo si tratta di un modello non lineare costituito da un sistema di 2 EDO a 2 incognite.
Non sappiamo trovare la soluzione esplicita anche se in questo caso si può dimostrare essere periodica.

Il modello:

$
\begin

\dot P (t) &= b P(t) - k P^{2} (t) \

P(t) &= P_

\end{cases}
$

Il problema di Cauchy è un problema differenziale nella forma:

$
\begin

y'(t) &= f(x, y(t)) ,,,,, t > t_{0} \

y(t_{0}) &= y_

\end{cases}
$

Un problema differenziale nella forma:
$\{\begin{array}{l}{y}^{″}(x)=f(x,y(x),y^{\prime }(x))a<x<b\\ y(a)=\alpha ,y(b)=\beta \end{array}$

Si definisce il [[#Problema di Cauchy]] in un intervallo:

$I=[x_0,x_0+\beta ]$

nel quale è noto esistere un'unica soluzione $y(x)$.

Si considera una discretizzazione di $I$ in sottointervalli di ampiezza $h$, ottenuti con l'introduzione di $n+1$ nodi equispaziati.

• Nodi: $t_0,t_1,t_2,...,t_n=t_0+\beta$
• Approssimazioni: $y_0=y(t_0),y_1,y_2,...,y_n$

Risulta

$y_i=y(t_i)$

Si ha quindi che

$h=\frac{\beta }{n}$

e

$t_i=t_0+ih$

Inoltre, l'errore di troncamento è

$e_i=y(t_i)-y_i$

Una funzione $f(t,y)$ si dice Lipschitziana in $y$ uniformemente rispetto a $t$ in $D\subseteq {\mathbb{R}}^{\mathbb{2}}$ (Dominio) se $\mathrm{\exists }L>0$ tale che:

$|f(t,y_1)-f(t,y_2)|\le L|y_1-y_2|\mathrm{\forall }(t,y_1),(t,y_2)\in D$

Se $f(t,y)$

• È derivabile
• $\underset{(t,y)\in D}{max}|\frac{\partial f}{\partial y}(t,y)|=L<+\mathrm{\infty }$

Allora:

$f$ è Lipschitziana

Se $f(t,y)$ è [[#Funzione Lipschitziana]] in $S=[t_0,t_0+\beta ]\times (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$

Allora

• La soluzione esiste ed è unica
• Il [[#Problema di Cauchy]] è [[#benposto]]

L'errore di troncamento è

$e_i=y(t_i)-y_i$

Dove ricordo essere:

• $y(t_i)$ = la soluzione esatta nel punto $t_i$
• $y_i$ = La soluzione approssimata nel punto $t_i$

Si dice che il metodo converge se

$\underset{h\to 0}{lim}\underset{0\le i\le n}{max}|e_i|=0$

Si dice che il metodo è consistente se per $y\in C^2[t_0,t_0+\beta ]$ allora
$\underset{h\to 0}{lim}\frac{R(t_i,h,y)}{h}=0$

$\{\begin{array}{l}{y}_{i+1}=y_i+\frac{h}{2}[K_1(t_i,y_i)+K_2(t_i,y_i)]\\ y_0=y(t_0)\end{array}$
dove
$\begin{array}{rl}{K}_1(t_i,y_i)& =f(t_i,y_i)\\ K_2(t_i,y_i)& =f(t_i+h,y_i+h{K}_1(t_i,y_i))\end{array}$

Il [[#Metodo di Heun]] ha ordine di convergenza pari a 2:
$p=2$

$y_{i+1}=y_i+\frac{h}{6}[K_1(t_i,y_i)+2K_2(t_i,y_i)+2K_3(t_i,y_i)+K_4(t_i,y_i)]0\le i\le n$
dove
$
\begin{align}
K_{1}(t_{i}, y_{i}) &= f(t_{i}, y_{i}) \
K_{2}(t_{i}, y_{i}) &= f\left( t_{i}+ \frac{h}{2}, y_{i} + \frac{h}{2} K_{1}(t_{i}, y_{i})\right)\
K_{3}(t_{i}, y_{i}) &= f\left( t_{i}+ \frac{h}{2}, y_{i} + \frac{h}{2}K_{2}(t_{i}, y_{i}) \right)\
K_{4}(t_{i}, y_{i}) &= f(t_{i} + h,y_{i} + hK_{3}(t_{i}, y_{i}) )

\end{align}
$

Il [[#Metodo di Runge-Kutta]] ha ordine di convergenza pari a 4:
$p=4$

Se

• $p(x),q(x),r(x)\in C[a,b]$
• $\underset{x\in [a,b]}{max}|p(x)|=k$
• $q(x)>0x\in [a,b]$

Allora
Esiste un'unica soluzione al [[#Problema ai limiti]]

$\{\begin{array}{l}-\frac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{h^2}+p(x_i)\frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{2h}+q(x_i)y_i=r(x_i)\\ y_0=\alpha ,y_{N+1}=\beta \end{array}$

$e_0=e_{N+1}=0$
Perché in quei punti abbiamo le condizioni al contorno.

$\tau (x_i,y,h)=\frac{h^2}{12}(y^{\prime v}({\xi }_i)-2p(x_i)y^{‴}({\eta }_i))$

L'errore di troncamento globale può essere maggiorato come segue
$\underset{0\le i\le N+1}{max}|e_i|\le M\underset{1\le i\le N}{max}|\tau (x_i,y,h)$
dove $M=\frac{1}{L}$ con $L=\underset{[a,b]}{min}q(x)$ (vd. [[#Condizione sufficiente di stabilità]]).

$\underset{h\to 0}{lim}\tau (x_i,y,h)=0$
è sempre vero per le $\tau$ come sopra

Un [[#Metodi alle differenze finite]] è stabile se
$k=\underset{0\le i\le i}{max}|e_i|\le cost<\mathrm{\infty }\mathrm{\forall }h\text{ fissato}$
$L=\underset{[a,b]}{min}q(x)>0$

Lo schema lineare è stabile se, siano verificate le seguenti:

$\begin{array}{rl}k& =\underset{[a,b]}{max}|p(x)|<\mathrm{\infty }\\ L& =\underset{[a,b]}{min}q(x)>0\end{array}$
è verificato che:

$hK\le 2$

Per uno schema alle differenze finite (qualunque), la convergenza è equivalente alla [[#Consistenza differenze finite]] + [[#Stabilità differenze finite]].

Il metodo di ??? ha ordine di convergenza pari a:
$p=$

Dimostrazione: