03.4 Metodo di Newton in n dimensioni

Metodo di Newton in $R^{n}$

Se in $R$ possiamo riscrivere una funzione sviluppandola in un Polinomio di Taylor, lo stesso possiamo fare con $R^{n}$ .

Sia $F (X) : R^{n} \to R^{n}$ , posso scrivere

F (X) = F (X^{(k)}) + J_{F} (X^{(k)}) (X - X^{(k)}) + . . .

dove al posto della derivata, uso la matrice Jacobiana:

J_{F} (X) = [\begin{matrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}} & \dots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} \\ \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} & \dots & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{n}} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{2}} & \dots & \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}} \end{matrix}]

Come metodo iterativo diventa l'equazione. La nuova approssimazione si trova risolvendo questo sistema

F (X^{(k)}) + J_{F} (X^{(k)}) \underset{\overset{△}{=} Y^{(k + 1)}}{\underset{⏟}{(X^{(k + 1)} - X^{(k)})}} = 0

Ho ottenuto un problema lineare della forma:

J_{F} (X^{(k)}) Y^{(k + 1)} = - F (X^{(k)})

Posso quindi scrivere la soluzione approssimata $X^{(k + 1)}$ come:

X^{(k + 1)} = X^{(k)} + Y^{(k + 1)}

Se $J_{F} (X^{(k)})$ è invertibile, allora

X^{(k + 1)} = \underset{= Φ_{N} (X^{(k)})}{\underset{⏟}{X^{(k)} - {(J_{F} (X^{(k)}))}^{- 1} F (X^{(k)})}}

Mi fermo quando

dist (X^{(k + 1)}, X^{(k)}) \leq ε