Siano ${\lambda }_i$ gli autovalori della matrice $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ si definisce raggio spettrale la quantità:
$\rho (A)=\underset{1\le i\le n}{max}|{\lambda }_i|$

Si definisce Norma Euclidea la seguente:
$||v|{|}_{\text{Euclidea}}={\left(\sum _{i=1}^n{v}_i^2\right)}^{\frac{1}{2}}$

l'operatore con le seguenti proprietà:

1. $||v|{|}_{\text{Euclidea}}\ge 0\mathrm{\forall }v\in V$
2. $||\alpha v||=|\alpha |\cdot ||v||\mathrm{\forall }\alpha \in \mathbb{R},\mathrm{\forall }v\in V$
3. $||v+w|{|}_{\text{E}}\le ||v|{|}_{\text{E}}+||w|{|}_{\text{E}}\mathrm{\forall }v,w\in V$ --> Disuguaglianza triangolare

$||v|{|}_p={(\sum _{i=1}^n|v_i{|}^p)}^{\frac{1}{p}}p\in {\mathbb{R}}^{\mathbb{+}},p\ge 0$

Viene detta norma di matrice una funzione ${\mathbb{R}}^{n\times n}\to {\mathbb{R}}^{\mathbb{+}}\cup \{0\}$ tale che rispetti tutte le seguenti condizioni:

1. $||A||=0⟺A=0$
2. $||\alpha A||=|\alpha |\cdot ||A||\mathrm{\forall }\alpha \in \mathbb{R},\mathrm{\forall }A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$
3. $||A+B||\le ||A||+||B||\mathrm{\forall }A,B\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$
4. $||A\cdot B||\le ||A||\cdot ||B||\mathrm{\forall }A,B\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$

Si definisce la norma di una matrice come segue:

$||A||=\underset{||X||=1}{max}||AX||$
con $A\in {\mathbb{R}}^{\mathbb{n}\times \mathbb{n}}$ e $X\in {\mathbb{R}}^n$

Dati $A\in {\mathbb{R}}^{\mathbb{n}\times \mathbb{n}}$ e $X\in {\mathbb{R}}^n$ qualunque, vale la seguente relazione:
$||AX||\le ||A||\cdot ||X||$

Dimostrazione:
A partire dalla definizione di [[#Norma indotta da vettore]]:

$\begin{array}{rl}||A||& =\underset{||X||=1}{max}||AX||=\\ & =\underset{||X||\ne 1}{max}\Vert A\frac{X}{||X||}\Vert =\end{array}$
Essendo $\Vert \frac{X}{||X||}\Vert =1$,
$\begin{array}{rl}& =\underset{||X||\ne 1}{max}\Vert A\frac{X}{||X||}\Vert =\\ & =\underset{||X||\ne 1}{max}\frac{||AX||}{||X||}\le \frac{||AX||}{||X||}\end{array}$
Da cui segue la relazione di compatibilità

c.v.d.

La [[#Norma per righe]] e [[#Norma per colonne]] sono uguali se la matrice $A$ è simmetrica.

$A$ si dice Diagonalmente Dominante Righe se
$|a_{ii}|>\sum _{j=1,j\ne i}^n|a_{ij}|$
Ossia se ogni elemento sulla diagonale è maggiore (in modulo) della somma degli altri elementi della stessa riga.

$A$ si dice Diagonalmente Dominante Colonne se

$|a_{jj}|>\sum _{i=1,i\ne j}^n|a_{ij}|$

Ossia se ogni elemento sulla diagonale è maggiore (in modulo) della somma degli altri elementi della stessa colonna.

Una matrice $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ si dice definita positiva se:
$X^{T}AX=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j>0\mathrm{\forall }X\in {\mathbb{R}}^n,X\ne \mathbf{0}$

Una matrice definita positiva gode delle seguenti proprietà:

1. Ha autovalori reali (poiché è simmetrica)
2. Ha autovalori positivi
3. Ha $det(A)\ne 0⟹$ è invertibile

Una matrice $A$ è definita positiva se:

1. La posso riscrivere nella forma $A=H^{T}H$
2. $X^{T}AX=||HX||>0$
3. è diagonale dominante e $a_{ii}>0$

Dimostrazione

Dimostro il punto 2.

$\begin{array}{rl}{X}^{T}AX& =X^T(H^{T}H)X=\\ & =(X^T{H}^T)(HX)=\\ & =(HX{)}^T(HX)=\\ & =||HX||>0\end{array}$

CNS affinché una matrice $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ sia definita positiva è che tutti i suoi Determinanti principali di testa siano strettamente positivi

Una matrice $A$ si dice convergente se

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{A}^k=\mathbf{0}$

Una matrice è convergente se e solo se
$\rho (A)<1$