01. Introduzione ai metodi numerici

Intervallo di separazione

intervallo di separazione

Un intervallo in cui abbiamo individuato un'unica soluzione del problema:

$I = [a, b] t.c. \exists! ξ \in I$

In presenza di più di una soluzione $ξ$ è necessario definire un intervallo di separazione per ognuna delle distinte soluzioni.

Come prima cosa dobbiamo ipotizzare che la funzione sia continua in $I$ :

f (x) \in C [a, b]

Errore di troncamento

errore di troncamento

L'errore di troncamento è quell'errore nella soluzione che si compie fermando il metodo numerico dopo un certo numero $k$ finito di reiterazioni.

$\begin{aligned} e_{1} & = ξ - x_{1} \Rightarrow dist (ξ, x_{1}) = | e_{1} | \\ e_{2} & = ξ - x_{2} \Rightarrow dist (ξ, x_{2}) = | e_{2} | \\ ⋮ \\ e_{k} & = ξ - x_{k} \Rightarrow dist (ξ, x_{k}) = | e_{k} | \end{aligned}$
A noi interessa capire cosa succede alla $dist (ξ, e_{k})$ man mano che iteriamo. Converge?

Convergenza

convergente

Il procedimento si dice convergente se facendo $\infty$ iterazioni, l'errore tende a 0:

$lim_{k \to \infty} dist (ξ, x_{k}) = lim_{k \to \infty} | e_{k} | = 0$

Ordine di convergenza

ordine di convergenza

L'ordine di convergenza è il numero $p > 1$ per cui il limite di seguito è finito e maggiore di 0:

$lim_{k \to \infty} \frac{| e_{k + 1} |}{| e_{k} |^{p}} = cost > 0 con p > 1$
Maggiore è $p$ , più veloce è la convergenza.

Algoritmo

algoritmo

Un algoritmo è una serie di operazioni che, ripetute, permettono di risolvere un problema matematico.